Pruebas de Hipótesis No Paramétricas o de Distribución Libre

Pruebas No Paramétricas

Material elaborado por: Dr. Jorge Valera

Junio, 2019.

Pruebas de Hipótesis No Paramétricas o de Distribución Libre

Introducción

        La mayoría de las pruebas de hipótesis tradicionales conocidas, como la de comparación de medias o varianzas requieren que las muestras aleatorias a ser utilizadas en los procedimientos de prueba de hipótesis provengan de poblaciones normales, de tal manera que los resultados y conclusiones que se obtengan sean confiables. Por otra parte, en las pruebas no paramétricas no se necesita hacer suposiciones acerca de la distribución de la población y por ello en ocasiones se denominan pruebas libres de distribución.

        En ocasiones requerimos llevar a cabo un procedimiento de prueba de hipótesis relacionadas con la media poblacional , una diferencia de medias poblacionales o pruebas relacionadas con  las varianzas de la población donde el supuesto de normalidad no se cumple. En estos casos las pruebas no paramétricas o de distribución libre representan una alternativa a las pruebas tradicionales. [pic 1]

        Por ejemplo supongamos que deseamos probar la hipótesis de que el tiempo  promedio para obtener un título profesional en una universidad reconocida no es de 5 años como se cree sino que este tiempo es superior a los 5 años. Para ello deseamos contrastar las hipótesis

[pic 2]

        Si se deseara aplicar la prueba tradicional para contrastar estas hipótesis tendríamos que probar que la muestra aleatoria de los tiempos para obtener el título profesional, obtenida de la población de graduandos de la universidad proviene de una población normal o bien apelar al teorema del límite central en caso que el tamaño de la muestra sea grande () así como  a otros supuestos como si la varianza de la población es o no conocida. [pic 3]

        En general, los contrastes de pruebas de hipótesis tradicionales exigen el cumplimiento de supuestos relacionados tanto con la distribución de los datos como de algunos parámetros para que los resultados de las mismas sean considerados válidos. Parte  fundamental de estos requerimientos es que las poblaciones de donde provienen los datos que conforman las muestras aleatorias utilizadas en los contrastes sean poblaciones normales, así como supuestos relativos a las varianzas poblacionales, de allí que a estas se les conozcan como pruebas de hipótesis paramétricas. En contraparte, los métodos de contraste de distribución libre o no paramétricos a menudo no requieren suponer conocimiento alguno de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones de donde se obtienen las muestras, excepto tal vez que estas distribuciones sean continuas.

        Cuando se utilizan pruebas no paramétricas para realizar un contraste de hipótesis hay situaciones donde los datos disponibles son medidos en una escala ordinal y en estos casos se asignan rangos a los datos a fin de aplicar las pruebas no paramétricas, como veremos más adelante. En cambio las pruebas paramétricas requieren que los datos analizados sean producto de una medición por lo menos en una escala de intervalo.

        Una gran ventaja de las pruebas no paramétricas es que son una excelente alternativa de las paramétricas en los casos donde no es posible justificar las suposiciones de normalidad o en casos donde la escala de medición de la variable es ordinal y no de razón. Por otro lado, para grandes desviaciones del supuesto de la normalidad de los datos el método no paramétrico es mucho más eficiente que el procedimiento paramétrico. Claramente es preferible utilizar las pruebas paramétricas sobre las no paramétricas en los casos donde sea posible verificar las condiciones de normalidad ya que los contrastes paramétricos son más eficientes.

        En resumen, las pruebas no paramétricas junto a las pruebas paramétricas constituyen todo un conjunto de herramientas estadísticas para adaptar a una gran variedad de situaciones experimentales.

La Prueba del Signo.

Prueba de signo para comparar una mediana.  

Es una alternativa no paramétrica a la prueba paramétrica empleada para realizar el contraste de hipótesis de la media  de una población.  Si en determinado estudio se requiere contrastar la hipótesis[pic 4]

    vs       ,[pic 5][pic 6]

según sea el caso, pero no se cumple que la población de donde proviene la muestra es normal, esta prueba es una alternativa para contrastar las hipótesis.

Metodología        

        De la teoría estadística se sabe que cuando una población posee una distribución de probabilidad simétrica como la que se presenta en la figura 1 se cumple que la media  y la mediana  son iguales.[pic 7][pic 8]

[pic 9]

         En este sentido, al no poder verificarse los supuestos requeridos por la prueba paramétrica tradicional, se opta por la prueba del signo la cual en lugar de la media  emplea a la mediana  como parámetro de tendencia central.[pic 10][pic 11]

        Dado que la distribución es simétrica, llevar a cabo la prueba sobre la mediana  es equivalente a realizarla sobre la media  ya que en este caso la media y la mediana poblacional son iguales.[pic 12][pic 13]

La mediana  estadísticamente se define como el valor para el cual la mitad de los valores de la población son menores o iguales a él y la otra mitad son mayores o iguales a él. En términos de probabilidad  se define como el valor para el cual se cumple:[pic 14][pic 15]

.[pic 16]

        La manera correcta de plantear las hipótesis cuando decidimos utilizar la prueba del signo es

    versus    ,[pic 17][pic 18]

        De esta manera, la prueba del signo en esencia consiste en determinar cuántos de los valores de la muestra aleatoria se encuentran arriba y abajo del valor . En este sentido, para contrastar la hipótesis  contra alguna de las alternativas según se al caso, lo que se hace es asignar un símbolo positivo (“+”) a los valores de la muestra que se encuentran por arriba de  y uno negativo (“-“) a los que se encuentren por debajo del valor . Cuando un valor en la muestra es igual al valor  se asigna el valor cero y no se considera para la aplicación de la prueba.[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

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