Pruebas No Parametricas

PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS

Distribución chi-cuadrada ( 2)

La distribución chi cuadrada es toda una familia de distribuciones. Existe una distribución chi-cuadrada para cada grado de libertad. La Figura 1 muestra que a medida que se incrementan los grados de libertad la distribución se vuelve menos sesgada. Las aplicaciones más comunes de la distribución chi-cuadrada son (1) pruebas de bondad de ajuste y (2) pruebas de independencia.

A. Pruebas de bondad de ajuste

Medidas sobre que tan cerca se ajustan los datos muestrales observados a una forma de distribución particular planteada como hipótesis. Si el ajuste es razonablemente cercano, puede concluirse que si existe la forma de distribución planteada como hipótesis.

Prueba chi-cuadrada (1.1)

donde k: Número de categorías o clases

k-m-1: grados de libertad donde m es el número de parámetros a estimar.

1.Prueba para un ajuste uniforme. Juan Pérez, director de Mercadeo de Alden de Juárez, tiene la responsabilidad de controlar el nivel de existencias para cuatro tipos de automóvil vendidos por la firma. En el pasado, ha ordenado nuevos automóviles bajo la premisa de que los cuatro tipos son igualmente populares y la demanda de cada tipo es la misma. Sin embargo, recientemente las existencias se han vuelto más difíciles de controlar, y Juan considera que debería probar su hipótesis respecto a una demanda uniforme. Sus hipótesis son:

H0: La demanda es uniforme para los cuatro tipos de autos.

H1: La demanda no es uniforme para los cuatro tipos de autos.

La Tabla 1.1 muestra la expectativa uniforme para una muestra de 48 autos vendidos durante el último mes

Tabla 1.1 Registro de Ventas de Alden de Juárez

Tipo de auto Ventas observadas Ventas esperadas

Ka 15 12

Fiesta 11 12

Focus 10 12

Clio 12 12

Debido a que no hay parámetros que estimarse el número de grados de libertad es k-1 = 3 grados de libertad. Si Juan deseara probar al nivel del 5%, se encontraría, como lo muestra la Figura 1.2, que

Regla de decisión:

Como 1.17 < 7.815, la hipótesis de que la demanda no es uniforme no se rechaza.

B.Tablas de contingencia. Una prueba de independencia

La distribución chi-cuadrada también permite la comparación de dos atributos para determinar si existe una relación entre ellas.

Ejemplo. Paty Alvarado es la directora de investigación de Plaguicidas de Juárez. En su proyecto actual Paty debe determinar si existe alguna relación entre la clasificación de efectividad que los consumidores asignan a un nuevo insecticida y el sitio (urbano o rural) en el cual se utiliza. De los 100 consumidores a quienes se le aplicó la encuesta, 75 vivían en zonas urbanas y 25 en zonas rurales. La Tabla 1.2 resume las clasificaciones hechas por los consumidores.

Tabla 1.2 Tabla de contingencia de Plaguicidas de Juárez

Clasificación Urbano Rural Total

Arriba del promedio 20

23.3 11

7.75 31

Promedio 40

36 8

12 48

Debajo del promedio 15

15.8 6

5.25 21

Total 75 25 100

H0: La clasificación y la ubicación son independientes.

H1: La clasificación y la ubicación no son independientes.

La prueba tiene (r – 1)(c – 1) = (3 -1)(2 – 1) = 2 grados de libertad. Si Paty fija  = 10%, , la hipótesis nula no se rechaza.

Prueba del signo

Una prueba no paramétrica utilizada comúnmente para tomar decisiones en relación a diferencias entre poblaciones como contraparte de la distribución t, la cual requiere el supuesto de normalidad de ambas poblaciones. La prueba de signos es útil cuando no se cumple este supuesto.

Se supone que se tienen datos antes y después para una muestra y se desean comparar estos conjuntos de datos correspondientes. Se hace restando las observaciones por pares, y se anota el signo algebraico resultante. No es importante la magnitud de la diferencia, sino solo si resulta un signo más o un signo menos.

La hipótesis nula establece que no existe diferencia en los conjuntos de datos. Si esto es cierto, entonces un signo más y un signo menos son igualmente probables. La probabilidad de que ocurra cualquiera es de 0.50. Una prueba de dos extremos es:

H0: m = p

H1: m  p

en donde m y p son los números de signos menos y de signos más, respectivamente. Una prueba de un solo extremo es:

H0: m = p

H1: m > p

o

H0: m = p

H1: m < p

Ejemplo. Un analista de mercado desea medir la efectividad de una campaña promocional del producto de su empresa. Antes de la campaña, selecciona 12 tiendas minoristas y registra las ventas del mes. Durante el segundo mes se termina la campaña promocional y se registran de nuevo las ventas. La Tabla 1.3 muestra los niveles de ventas, junto con el signo algebraico que resulta cuando las ventas del segundo mes se restan de las del primer mes.

Tabla 1.3 Ventas para doce tiendas minoristas

Tienda Antes Después Signo

1 $4200 $4000 +

2 $5700 $6000 -

3 $3800 $3800 0

4 $4900 $4700 +

5 $6300 $6500 -

6 $3600 $3900 -

7 $4800 $4900 -

8 $5800 $5000 -

9 $4700 $4700 0

10 $5100 $5200 -

11 $8300 $7200 +

12 $2700 $3300 -

Se desea probar la hipótesis de que la promoción incrementó las ventas con un nivel de significancia del 5%. Esta es una prueba de extremo derecho, como se muestra enseguida:

H0: m  p

H1: m > p

Pregunta: ¿Qué haría que se rechazara la hipótesis nula?

1) un número significativamente grande de signos menos

2) un número significativamente pequeño de signos más

Número de signos menos = 6

Número de signos más = 4

Los valores que resultan en una diferencia de cero se eliminan.

La Tabla de Distribución Binomial establece que la probabilidad de seis o más signos menos es:

Este valor de 0.3770 es la probabilidad de obtener seis o más signos menos ( o cuatro o menos signos más) si la probabilidad de ocurrencia de cualquier signo es de  = 0.5. Se nota que si el número de signos menos fuera inusitadamente grande, se rechazaría la hipótesis nula. Sin embargo, 6 no es un número grande. La probabilidad de su ocurrencia es mayor que un  de 0.5%, el evento de 6 signos menos no se considera grande, y la hipótesis nula de que H0: m  p no se rechaza, por lo tanto no se puede considerar que la promoción haya sido exitosa.

Valor de Z para prueba del signo con muestras grandes (n  30)

La prueba de rachas

Cuando no existe aleatoriedad, muchas de las herramientas estadísticas en las cuales se confía son de poco uso o de ningún uso. Para comprobar la aleatoriedad se utiliza una prueba de rachas.

Prueba de rachas. Prueba no paramétrica de aleatoriedad en el proceso de muestreo.

Racha. Una serie continua de uno o más símbolos.

Ejemplo. Suponga que se seleccionan los empleados para un programa de entrenamiento. Si la selección no depende de si el empleado es de sexo masculino (m) o femenino (f), se esperaría que el género fuera un evento aleatorio. Sin embargo, si se detecta algún patrón en el género, se puede asumir que la aleatoriedad está ausente y que la selección se hizo, por lo menos en parte, con base en el género de un trabajador. Si existe un número inusualmente grande o inusualmente pequeño de rachas, se sugiere un patrón. Así, por ejemplo

_____________________________________________

mmm ffffff mmm

_____________________________________________

1 2 3

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Tres rachas existen en esta muestra. Tres hombres , seguidos de seis mujeres y luego tres hombres. Aparentemente existe ausencia de aleatoriedad. Consideremos ahora que el orden de selección es

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m f m f m f m f

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