EJERCICIO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

EJERCICIO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. Circunscribir en torno a un cilindro dado un cono recto que tenga el menor volumen posible (los planos y centros de sus bases circulares coinciden).

2. ¿Cuál de los conos circunscritos en torno a una esfera tiene el menor volumen?

3. Una faja de hoja de lata de anchura a debe ser encorvada longitudinalmente en forma de canalón abierto. ¿Qué ángulo central debe tomarse para que el canalón tenga la mayor capacidad posible?

4. De una hoja circular hay que cortar un sector tal, que enrollado nos dé un embudo de la mayor capacidad posible.

5. Un recipiente abierto está formado por un cilindro, terminado por su parte inferior en una semiesfera; el espesor de sus paredes es constante. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidad, se gaste en hacerlo la menor cantidad de material?

6. Determinar la altura mínima h = OB que puede tener la puerta de una torre vertical ABCD, para que a través de ella se pueda introducir en la torre una barra rígida MN, de longitud l, cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal AB. La anchura de la torre es d < l

7. En un plano de coordenadas se da un punto, Mo (xo, Yo), situado en el primer cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángulo formado entre ella y los semiejes positivos de coordenadas tenga la menor área Posible.

8. Inscribir, en una elipse dada, un rectángulo de la mayor área posible, que tenga los lados paralelos a los ejes de la propia elipse.

9. Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la parábola y2 = 2px cortado por la recta x = 2a.

10. Hallar el punto de la curva y = 1/1+x2, en el que la tangente forme con el eje OX el ángulo de mayor valor absoluto posible.

11. Dividir un número Positivo dado a en dos sumandos de tal forma, que su producto sea el mayor posible.

12. Torcer un trozo de alambre de longitud dada l, de manera que forme un rectángulo cuya área sea la mayor posible.

13. ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado, igual a 2p, tiene mayor área?

14. Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus lados con tela metálica y lindante Por el cuarto con una larga pared de piedra. ¿Qué forma será más conveniente dar a la superficie (para que su área sea mayor), si se dispone en total de l m lineales de tela metálica?

15. De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja rectangular abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en forma de cruz así obtenida.

16., Un depósito abierto, de hoja de lata, con fondo cuadrado, debe tener capacidad para v litros. ¿Qué dimensiones debe tener dicho depósito para que en su fabricación se necesite la menor cantidad de hoja de lata?

17. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?

18. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo.

19. Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie lateral posible.

19´. Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo.

20. Inscribir en una esfera dada un cono circular recto que tenga la mayor superficie lateral posible.

21. Se quiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga un volumen de 4 decímetros cúbicos. Encuentre las dimensiones que hagan que la cantidad de material necesario sea mínima (ignore el espesor del material y lo que se desperdicia en la construcción).

22. Resuelva el ejercicio 21 suponiendo que la caja sí tiene tapa.

23. Una cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un edificio alto. La cerca se encuentra a un pie del edificio. Encuentre la longitud de la escalera más corta que pueda colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca.

24. Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm2 de área con márgenes de 2 cm. abajo y a los lados y 3 cm. arriba. Encuentre las dimensiones de la página que permitan la mayor área impresa posible.

25. Sea a el radio de un semicircu1o. Encuentre las dimensiones del rectángulo inscrito de área máxima, si se requiere que dos de los vértices del rectángulo estén sobre el diámetro.

26. Sea a el lado de un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo de área máxima que pueda inscribirse en él manteniendo dos de los vértices del rectángulo sobre uno de los lados del triángulo.

27. Encuentre el cono circular recto de volumen máximo que pueda inscribirse en una esfera de radio a.

28. Encuentre el cilindro circular recto de volumen máximo que pueda inscribirse en una esfera de radio a.

29. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa, que tenga capacidad de un metro cúbico. Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material necesario sea mínima, suponiendo que no se desperdicia nada en la construcción.

30. La base circular del recipiente del ejercicio 29 se corta de una hoja cuadrada y el metal restante se desperdicia. Encuentre las dimensiones del recipiente para las cuales la cantidad de material necesario en su construcción sea mínima.

31. Una pieza larga y rectangular de lámina de 30 cm. de ancho va a convertirse en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos rectos con la base.

¿Cuál debe ser el ancho de las partes dobladas para que el canal tenga una capacidad máxima?

32. Resuelva el ejercicio 31 suponiendo que los lados del canal forman un ángulo de 120º con la base.

33. Demuestre que el rectángulo de área máxima con perímetro dado p es un cuadrado.

34. Al girar un rectángulo

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