ESTADISTICA INFERENCIAL

ESTADISTICA INFERENCIAL

ESTUDIANTES

 ERIKA BOLAÑOS ARAGON ID: 642036
MIGUEL SANTANA SOTO ID: 633935
YONATHAN RINCÓN HIGUERA ID: 632025
ANDERSSON STIVEN CASTRO ROCHA ID: 634297

 EDWIN STEVEN HERREA V
NRC: 157

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS UNIMINUTO

ADMINISTRACIÓN EN SEGURIDAD Y SALUD EN EL TRABAJO

7º SEMESTRE – FACATATIVÁ 2020

Teorema del límite central

En una fábrica de baterías aseguran que su producto tiene una vida útil de 6000 horas en promedio, con una desviación estándar de 530 horas. En una auditoria la superintendencia de industria y comercio selecciona una muestra de 200 para establecer si es verdad lo que esta compañía asegura en publicidad. Calcule la probabilidad de:

• Que la vida útil de las baterías de la muestra se mayor de 6100.
• Que la vida útil de las baterías de la muestra se menor de 5880.
• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 5895 y 6140.
• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 5870 y 5990.
• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 6050 y 6160.

Como bien se sabe del teorema del límite central afirma que se puede aproximar una función de distribución a distribución normal si se obtiene un tamaño de muestra lo suficientemente grande de la población x (30). En este caso el comportamiento de la vida útil de las baterías se aproximará a una distribución normal ya que el número de muestras es mayor a 30. Los valores que se conocen son:

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

La grafica de la función de probabilidad se muestra a continuación:

[pic 4]

Grafica de la distribución normal de la vida útil de las baterías.

Para cada caso se pide la probabilidad de que se presenten tales situaciones. El procedimiento empieza con una normalización de los datos, en donde la anterior grafica se transforma a la siguiente:

[pic 5]

Grafica de la distribución normal.

La cual como bien se observa tiene la misma forma, con la diferencia que el punto 0 indica la posición de la medio o promedio, además de tener valores aproximadamente de 3 desviaciones estándar hacia arriba y hacia abajo del promedio, la idea de realizar un cambio de grafica permite obtener la probabilidad de manera más sencilla usando la siguiente tabla:

[pic 6]

Tabla de la distribución normal

El cálculo de la probabilidad se obtiene normalizando los datos con la siguiente ecuación, la cual se obtiene del Teorema del límite central:

[pic 7]

Seguido, una vez obtenido el valor de , este se ubica en la tabla para obtener la probabilidad según sea el caso.[pic 8]

• Que la vida útil de las baterías de la muestra se mayor de 6100 horas

[pic 9]

Reemplazando:

[pic 10]

[pic 11]

Una vez ubicado Z, el respectivo valor de la tabla expresa la probabilidad de que en este caso la vida útil de baterías sea menor o igual a 6100 horas, es decir:

[pic 12]

Para obtener la probabilidad de que sean mayor se procede a:

[pic 13]

A continuación, se observa la gráfica de la probabilidad. En la parte inferior se observa sombreada el área que corresponde a la probabilidad en cuestión, la cual se encuentra por encima de 6100 horas y que además es muy pequeña.

[pic 14]

• Que la vida útil de las baterías de la muestra se menor de 5880

[pic 15]

Reemplazando:

[pic 16]

[pic 17]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 18]

Su respectiva grafica es:

[pic 19]

La grafica no permite notar una porción de curva sombreada ya que la probabilidad es casi 0.

• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 5895 y 6140

Para obtener esta probabilidad se realiza los anteriores pasos por separados para cada cantidad de horas de vida útil de las baterías:

Para 5895

[pic 20]

Reemplazando:

[pic 21]

[pic 22]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 23]

Para 6140

[pic 24]

Reemplazando:

[pic 25]

[pic 26]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 27]

Posteriormente se restan las respetivas probabilidades de la siguiente manera:

[pic 28]

[pic 29]

Tal y como se observa en la gráfica se observa a continuación, y según el valor de la probabilidad a razón de ser tan alta, debería sombrearse casi por completo la curva:

[pic 30]

• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 5870 y 5990

Para 5870

[pic 31]

Reemplazando:

[pic 32]

[pic 33]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 34]

Para 5990

[pic 35]

Reemplazando:

[pic 36]

[pic 37]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 38]

Posteriormente se restan las respetivas probabilidades de la siguiente manera:

[pic 39]

[pic 40]

La grafica se observa a continuación:

[pic 41]

• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 6050 y 6160

Para 6050

[pic 42]

Reemplazando:

[pic 43]

[pic 44]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 45]

Para 6160

[pic 46]

Reemplazando:

[pic 47]

[pic 48]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 49]

Posteriormente se restan las respetivas probabilidades de la siguiente manera:

[pic 50]

[pic 51]

La grafica se observa a continuación:

[pic 52]

Conclusión:

La mejor conclusión que la superintendencia puede obtener tras realizar las anteriores 5 pruebas es que la vida útil del 98,12% de las baterías esta entre 5895 y 6140 horas. Por otra parte la probabilidad de que una batería tenga una vida útil menor a 5880 es aproximadamente 0, mientras que la probabilidad de que la vida útil de una batería sea mayor a 6100 horas es aproximadamente 0 (0,3%).

Prueba de Hipótesis:

• Una empresa de taxis decide hacer una encuesta sobre sus vehículos, se escogieron 100 del parque automotor y se obtuvo en que los últimos 6 meses estos vehículos recorrieron 12500Km con desviación estándar de 2400km, Probar la hipótesis en donde los taxis se condujeron 12000km frente a la alternativa de que el promedio es superior. A un nivel de significancia del 5%.

De acuerdo con lo que se sabe del procedimiento de hipótesis, se tiene siempre un par de ellas, las cuales son mutuamente excluyentes, una hipótesis nula y una hipótesis alternativa. Con base en el enunciado el planteamiento, las hipótesis son:

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