Ecuaciones Diferenciales De Primer Grado

Ecuaciones diferenciales forma de variables separables, exactas, por sustitución, lineales y de Bernoulli.

Para poder aplicar los diferentes métodos para encontrar la solución de una ecuación diferencial de la forma:

es necesario seguir los dos pasos siguientes:

1.- Identificar la ecuación.

2.- Aplicar el método correspondiente para encontrar su solución.

Ecuaciones diferenciales de variables separables.

Una ecuación diferencial que se puede poner de la forma:

recibe el nombre de ecuación diferencial de variables separables.

Cuando una ecuación diferencial se puede llevar a una ecuación de variables separables, el método para resolverla consiste en: poner en uno de los miembros de la igualdad todo lo que esta en términos de la variable dependiente y en el otro todo lo que esta en términos de la variable independiente, posteriormente se integran ambos miembros con respecto a su variable y de esta manera obtenemos la solución general de la ecuación.

Ecuaciones diferenciales homogeneas

Si una ecuación diferencial se puede llevar a la forma

entonces decimos que se trata de una ecuación homogénea.

Una ecuación homogénea puede ser resuelta con el cambio de variable o bien , donde u y v son variables dependientes y transformaran la ecuación en una ecuación de variables separables.

Ecuaciones diferenciales exactas.

Una ecuación diferencial de la forma

(1)

se dice que es exacta si

Si la ecuación (1) es exacta entonces existe una función f(x,y) tal que

para toda (x,y), es decir

Método de solución para resolver una ecuación diferencial exacta:

Integrando (2) con respecto a la variable x obtenemos

(4)

derivando (4) con respecto a la variable y tenemos

igualando esta expresión con (3) obtenemos

la cual al integrarla nos da , que sustituyendo en (4), obtenemos la solución general de la ecuación diferencial exacta (1):

La integración con respecto a la variable y se obtiene de una manera similar.

Ecuaciones diferenciales, lineales de primer orden.

Una ecuación diferencial de la forma

se llama ecuación diferencial lineal , de primer orden.

El procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones, consiste en:

Primer paso. Encontrar el factor integrante.

Segundo paso. Multiplicamos la ecuación (1) por el factor integrante.

la cual es equivalente a la ecuación

Tercer paso. Integramos esta última ecuación y resulta

o bien

(2)

en otras palabras la solución de la ecuación (1) es de la forma (2).

Ecuaciones diferenciales de bernoulli.

Una ecuación diferencial de la forma

(1)

donde n es un número real diferente de 0 y 1, se llama ecuación de bernoulli.

El procedimiento para

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