ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

IGUALDAD

Es la relación que existe entre cantidades que tienen el mismo valor.

ECUACIÓN

Es una igualdad relativa que se verifica sólo para determinado(s) valor(es) de su incógnita.

Ejemplo:

La ecuación: x - 7 = 3

Se verifica sólo para: x = 10

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Se llama así al valor de la incógnita que reemplazando en la ecuación verifica la igualdad. Si la ecuación tiene una sola incógnita, a la solución también se le de¬nomina raíz.

Ejemplo:

x2 = 9 > solucionas o raíces. x=3 ó x=3

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

I. ECUACIONES COMPATIBLES

Son aquéllas que aceptan por lo menos una sola solución. A su vez se dividen en:

A. ECUACIONES DETERMINADAS

Son aquéllas que tienen un número limi¬tado de soluciones.

Ejemplo:

x2 - 1 = 24 -> tiene dos soluciones: x = 5 ó x = -5

B. ECUACIONES INDETERMINADAS

Son aquellas que tienen un número ilimi¬tado de soluciones.

Ejemplo:

x + y = 7 -> tiene <c soluciones.

II. ECUACIONES INCOMPATIBLES

Son aquéllas que no tienen solución, tam¬bién se les denominan absurdas o imposi¬bles.

Ejemplo:

x + 4 = x +7 , 4 = 7 (absurdo)

No existe valor de "x" que verifique la igual¬dad.

OBSERVACIONES

1. Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderá soluciones. Esto se puede evi¬tar si la expresión que se divide (sim-plifica) se iguala a cero.

Ejemplo:

Resolver: (x+3)(x-2) = 4(x-2)

Solución:

Simplificando:

(x-2) - > x 2-0 -> x = 2

(para no perder soluciones)

Tendremos:

La ecuación tiene 2 soluciones x = 2 y x = 1 (de no haber igualado a cero, hubié¬ramos perdido la solución x = 2).

2. Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede producir soluciones extrañas. Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación.

Ejemplo:

Resolver:

(X+3)(x-2) = 4

x-2

Primero simplificamos (x-2), y obtenemos: x+3=4x=1

OBSERVACIÓN

Si hubiésemos trasladado (x-2) a una multiplicación, tendríamos que una solu¬ción seria x = 2, la cual es una solución extraña, pues no verifica la igualdad.

3. Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, en¬tonces se puedo introducir soluciones extrañas.

Ejemplo: Resolver:

+ 7 = x -7

Solución:

Elevando al cuadrado:

= ( X -7) 2

x2 + 7 = x2-14x + 49

14x = 42 -> x = 3

Pero si reemplazamos x = 3, en la ecua¬ción dada tendremos:

=3-7 -> = -4 = -4

4 = -4 (no cumple)

Luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución.

OBSERVACIÓN

Siempre que se potencie los 2 miembros de una ecuación, el valor o valores obteni¬dos para "x" deben comprobarse en la ecuación dada pues pueden no ser solu¬ciones verdaderas.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

(Con una sola incógnita)

La ecuación lineal con una incógnita: ax + b = 0 ; a ≠ 0

Tiene solución única:

Por tanto, para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se transponen todos los términos que contienen a la incógnita a un miembro de la ecuación y todos los términos que no la contiene al otro miembro de la ecuación y ser realicen las operaciones para el despeje de la incógnita.

Ejemplo:

Resolver la ecuación

ax = b2 = a2 + bx ; a ≠ b

Solución:

Por supuesto, aquí se sobre entiende que la incógnita es x, y que por tanto, todas las letras representan constantes conocidas. Entonces procederemos como sigue:

Por transposición : ax + bx = a2 - b2

Factorizando : (a - b) x = a2 - b2

Dividiendo entre (a – b) si a ≠ b; x = a + b

Comprobaremos nuestra solución por sustitución directa de la raíz (a + b) en la ecuación original, así obtenemos:

a(a + b) + b2 = a2 - b (a + b)

O sea la identidad:

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2

Discusión de la raíz:

; de: ax + b = 0

1. Si: a =o  b = 0  La ecuación es indeterminada.

2. Si : a = 0  b ≠ o  La ecuación es incompatible.

3. Si: a ≠ 0  b ≠ 0  La ecuación es determinada.

PROBLEMA RESUELTO

Resolver:

Resolución: El M.C.M. de 2, 3, 4, 5, es 60

Multiplicamos toda la ecuación por 60

30x – 30 – 20 x- 40 – 154x + 45 = 12x + 60

7x = 5

 = X 5 / 7

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

UNA ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓG¬NITAS (o variables) x e y, es de la forma ax+by = c; en donde a, b y c son constan¬tes y a, b distintos de cero. Dos ecuaciones de este tipo:

A1x + b1y = C1

A2x + b2y = C2

Constituyen un sistema de ecuaciones li¬neales, en este caso de dos ecuaciones con dos incógnitas. Todo par de valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones, simultáneamente recibe el nombre de so-lución del sistema.

Por ejemplo, la solución del sistema: x + y = 7 y x-y = 3 es x = 5, y = 2.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

A continuación, se exponen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

A. MÉTODO DE REDUCCIÓN

Cuando sea necesario, se pueden multi¬plicar las ecuaciones dadas por números, de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones sea el mismo. Si los signos de los términos de igual coeficiente son distintos, se suman las ecuaciones; en caso contrario, se res¬tan. Consideremos:

(1) 2x - y = 4

(2) x + 2y = -3

Para eliminar y, se multiplica (1) por 2 y se suma con (2), obteniendo:

2 x (1) 4x - 2y = 8

(2) x + 2y = -3

Suma 5x = 5 ; o sea x = 1.

Sustituyendo x = 1 en (1), se obtiene 2 - y = 4, o sea y = -2.

Por tanto, la solución del sistema formado por (1) y (2) es x = 1 . y = -2.

Comprobación:

Sustituyendo x = 1

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