Ecuaciones

Funciones trascendentales y sus derivadas

Problemas propuestos

Derive y simplifique las funciones dadas:

1.f(x)=ln〖(2-3x)〗^5 2. f(x)=ln〖〖(7-2x〗^(3))〗^(1/2)

3. f(x)=ln〖(3x〗^2-2x+1) 4. f(x)ln=∛(〖4x〗^2+7x)

5.f(x)=xlnx 6. f(x)=lnx^3+〖(lnx)〗^3

7. f(x)=l/lnx+ln(l/x) 8. f(x)=ln(√(x&〖4+x〗^2/〖4-x〗^2 ))

9. f(x)=ln〈█(√(x^2+1))/█(█(〖(9x-4)〗^2 ))〉 10. f(x)=ln〈〖x^2 (2x-1)〗^3/〖(x+5)〗^2 〉

Respuestas

1. f´(x)=(-15)/(2-3x) 2. f´(x)=(-〖3x〗^2)/〖7-2x〗^3

3. f´(x)=(6x-2)/(〖3x〗^2-2x+1) 4. f´(x)(8x+7)/(3(4x^2+7x))

5.f´(x=(l+lnx) 6.f´(x)=(3+3〖ln〗^2 x)/x

7. f´(x)=((-1)/x)[(1+〖ln〗^2 x)/(〖ln〗^2 x)] 8.f´(x)=(16-8x^2-x^4)/(x(4+x^2)(4-x^2))

9.f´(x)=(-9x^2-4x-18)/((x^2+1)(9x-4)) 10.f´(x)=(〖6x〗^2+50x-10)/(x(2x-1)(x+5))

Derivación Logarítmica

SESIÓN 5.3 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

Problemas resueltos

Ejemplo 1 encuentre y´ por derivación logarítmica de la función

y=(x^3 √(x^2-l))/〖(x^2-2)〗^2

Solución:

Paso 1 ln⁡〖y=(x^3 √(x^2-l))/〖(x^2-2)〗^2 〗

Paso 2 ln⁡〖y=lnx^3 〗 √(x^2-l)-ln〖⁡(x^2-2)〗^2 (propiedad A)

ln⁡〖y=lnx^3 〗+ln√(x^2-l)-ln〖⁡(x^2-2)〗^2 (Igual)

ln⁡〖y=3lnx〗+1/2 ln⁡(x^2-l)-2ln⁡(x^2-2) (Propiedad C a cada término).

Paso 3 (y´)/y=3/x+1/2 2x/((x^2-l))-2 2x/(x^2-2) (derivando ambos lados)

Paso 4 y´=(3/x+x/((x^2-1))-4x/(x^2-2))y

y´=(3/x+x/((x^2-1))-4x/(x^2-2)) (x^3 √(x^2-1))/((x^2-2))

Ejemplo 2 Derive. y=〖(x-l)〗^3x Logarítmicamente

Solución: y=〖(x-l)〗^3x

Paso 1 ln⁡〖y=ln⁡〖(x-l)〗^3x 〗

Paso 2 ln⁡〖y=3xln⁡(x-l)〗 (aplicando propiedades)

Paso 3 ( y´)/y=3x/(x-1)+3ln⁡(x-l) (derivando ambos lados)

Paso 4 y´=(3x/(x-1)+3 ln⁡(x-l) ) 〖(x-l)〗^3x

Funciones trascendentales y sus derivadas

Problemas propuestos

Derive las funciones dadas logarítmicamente

1y=x^(ln√x) 2 y=〖(x^x)〗^x 3. y=〖(2x-l)〗^5/(√(x-9) 〖(x+3)〗^2 )

4.y=(3x-7)^4 〖(〖8x〗^2 l)〗^3 5 y=(〖(x+l)〗^4 〖(x-5)〗^3)/〖(x-3)〗^8 6. y=x^((x^2+6x+l))

7. y=〖(lnx)〗^x 8 y=〖(x^2+l)〗^3x 9 y=x^(x^2 ) e^(x^3 )

Respuestas

y´=x^(〖ln〗^√x )/x lnx

y´=〖(x^x)〗^x [x+2xlnx]

y´=〖(2x-l)〗^5/√(x-9〖(x+3)〗^2 ) [10/(2x-l)-l/2(x-9) -2/(x+3)]

y´=(3x-7)^4 (〖〖8x〗^2-l)〗^3 [12/(3x-7)+48x/(〖8x〗^2-1)]

y´=((x+l)^4 〖(x-5)〗^3)/〖(x-3)〗^8 [4/(x+l)+3/(x-5)-8/(x-3)]

y´=x^(x^2+6x+l) [(x^2+6+l)/x+(2x+6)lnx]

y´=〖(lnx)〗^2 (1/lnx+ln(lnx))

y´=[3ln(x^2+l)+〖6x〗^2/(x^2+l)] (x^2+l)^3x

y´=(2xlnx+x+〖3x〗^2 ) x^(x^2 ) e^(x^3 )

funciones exponenciales y logarítmicas de base a

SESIÓN 5.4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS DE BASE a

Problemas resueltos

Ejemplo 1. Dada f(x)=5^(x^4 ) encuentren f´(x)

Solución:

f(x)=5^(x^4 ) (〖4x〗^3 ln5).

Ejemplo 2. Dada f(x)=〖log〗_2 √(x^2-3) encuentre f(x)

Solución:

f(x)=〖log〗_2 √(x^2-3) f´(x)=1/2 [2x/((x^2-3) 〖ln〗_2 )]=x/((x^2-3) 〖ln〗_2 )

Problemas propuestos

En cada uno de los siguientes ejercicios derive y simplifique las funciones dadas

f(x)=log(3x+1) 2. f(x)=3^5x 3 f(x)=4^(〖3x〗^2 )

4. f(x)=2^5x 3^(〖4x〗^2 ) 5. f(x)=logx/x 6. f(x)=√(〖log〗_2 x)

7. f(x)=log[log(3x+1)] 8. y=〖(logx)〗^x

Respuestas:

f´(x )=3/(3x+1)ln10 2. f´´(x)=3^5x

3- f´(x)=4^(〖3x〗^2 ) (6xln4) 4. f´(x)=2^5x 3^(〖4x〗^2 ) (8xln3+5ln2)

5. f´(x)=(1-ln10logx)/(x^2 ln10) 6. f´(x)=1/(2xln2√(〖log〗_2 x))

7. f´(x)=3/((3x+1)〖ln〗^2 10〖log〗_10 (3x+1)) 8. y´1/((logx)^x [1/ln10logx+ln(logx)] )

Funciones trascendentales y sus derivadas

SESIÓN 5.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA

Problemas resueltos

Ejemplo 1. Dada f(x)=sen⁡x/(1-2 cos⁡x ). Encuentre f´(x)

Solución:

f(x)=((1-2 cos⁡x )(cos⁡x )-senx (2senx))/(1-2 cos⁡x )^2 =cos⁡〖x-2(〖cos〗^2 x+〖sen〗^2 x)〗/(1-2 cos⁡x )^2 =(cosx-2)/(1-2 cos⁡x )^2

Ejemplo 2 dada 〖y=(1-3 cos⁡〖x^2 〗 )〗^4 encuentre y´

Solución: y´ 〖y=4(1-3 cos⁡〖x^2 〗 )〗^3 (-sen〖3x〗^2 )(6x)=-24xsen〖3x〗^2 (1-3 cos⁡〖x^2 〗 )^3

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