Ejercicios de vectores

Ejercicios de vectores:

1.- A un vector libre (-5,7) pertenece un vector fijo de origen en punto A(3,-3). Determina el extremo y comprueba gráficamente el resultado.

2.- El vector fijo AB tiene la misma dirección que el vector fijo CD, sus sentidos son opuesto y la longitud de CD es tres veces la de AB. Determina las coordenadas de D sabiendo que A(3,-2), B(6,1) y C(5,5). Haz una comprobación gráfica del resultado.

3.- Sean U= y V= dos bases en el plano. Sabemos, además que ; y . ¿Cuáles son las componentes del vector respecto de la base V? ¿ Cuáles son las componentes del vector respecto de la base U?.

VECTORES EN EL PLANO

Vector fijo: Un vector fijo es un segmento orientado. El vector es un vector de origen en el punto A y extremo en B.

Ejemplo: Si A(1,2) y B(3,1). Se representa de la siguientes forma:

Los elementos que definen un vector son tres:

Módulo: Longitud del segmento . Y se escribe

Dirección : Es la recta sobre la que se encuentra el vector.

Sentido: El que indica la punta de la flecha.

Suma de vectores: Dados los vectores y . Para representar el vector suma se lleva uno a continuación de otro. Se hace coincidir el origen del segundo con el extremo del primero.

Casos: a) De igual dirección :

- Con igual sentido: es un vector con igual dirección y sentido y módulo la suma de los módulos de ambos

- Con distinto sentido: es un vector con igual dirección, sentido el del mayor módulo y módulo la diferencia de los dos dados.

b) De distinta dirección: es un vector con distinta dirección, distinto sentido y módulo = ; con  el ángulo entre los dos vectores; o sea el ángulo entre las rectas dirección de los dos vectores.

Producto de un escalar por un vector: es otro vector de igual dirección, igual sentido o distinto dependiendo de si el número es positivo o negativo y de módulo el producto del valor absoluto del número por el módulo del vector dado.

Módulo de un vector:

Sea el vector dado por los puntos A(0,1) y B(-1,2).

Si no fijamos en el triángulo que se forma, es rectángulo y podemos usar Pitágoras:

Hipotenusa =

. Tendremos

En general para hallar el módulo del vector ; con A(a,b) y B(a’,b’) haremos =

Vectores equivalentes: Son aquellos con igual módulo, dirección y sentido.

Ejemplo:

Vector libre: Es el conjunto de vectores que son equivalentes entres sí. Para representarlo cogemos como representante aquel que tiene por origen el (0,0,0).

Por ejemplo el vector libre (2,1)=

Estarán todos los que la diferencia entre las coordenadas del punto origen y extremo de cómo resultado (2,1).

Combinación lineal de vectores: Una combinación lineal de los vectores ; y es una expresión de la forma:  +  +  ; con ynúmeros reales.

Se dice que se puede escribir como combinación lineal de los vectores ; y si se puede escribir de la forma =  +  +  ; con ynúmeros reales.

Vectores linealmente dependientes: Un conjunto de vectores se dice que es l.d. cuando uno cualquiera se

...