El Algebra

EL ÁLGEBRA

En realidad, el álgebra tiene una estructura muy sencilla, conformada por los siguientes tres elementos:

Un conjunto de elementos, que en nuestro caso, será el conjunto de números complejos,

1. Dos operaciones elementales, que llamaremos operaciones algebraicas y que se aplican a los elementos del conjunto: la adición y la multiplicación.

2. Una serie de leyes que rigen el comportamiento de las operaciones algebraicas al ser aplicadas a los números complejos.

Esta estructura tan simple proporciona los resultados necesarios para que el estudio de los mismos sea tan vasto como las páginas de este libro, y más. Los tres elementos que conforman la estructura del álgebra serán discutidos en secciones siguientes.

PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Son aquellos que, en su enunciado, presentan datos en forma de cantidades y establecen relaciones entre ellos y que necesitan la realización de operaciones aritméticas para su resolución.

Ejemplo:

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión.

a 4 = 10; a 6 = 16

a n = a k + (n - k) • d

16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3

a1= a4 - 3d;

a1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13…

NÚMEROS REALES

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracciónde dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: .

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN O RELACIÓN de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o diferencia y razón geométrica o por cociente.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.

Una equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes:

a – b = c – d y a . b :: c . d y se lee a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN

Los términos de una equidiferencia se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero. También según lo visto antes se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto.

Así, en la diferencia 20 – 5 = 21 – 6, 20 y 6 son los extremos, y 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.

CLASES DE PROPORCIONES

Hay dos clases: Equidiferencia discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales, por ejemplo, 9 – 7 = 8 – 6 y equidiferencia contínua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 10 – 8 = 8 – 6.

LENGUAJE ÁLGEBRAICO.

Para poder manejar el lenguaje álgebraico es necesario comprender lo siguiente:

Se usan todas las letras del alfabeto.

Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.

Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión álgebraica.

§ si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

§ También el lenguaje álgebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

ALGORITMOS GEOMÉTRICOS Y ARITMÉTICOS

Un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permiten hallar la solución de un problema. Los algoritmos sirven para ejecutar una tarea y resolver problemas matemáticos. Para enlistar los elementos de una sucesión, sea geométrica o aritmética, se hace uso de los algoritmos.

SERIES Y SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo con una regla dada. Si una sucesión tiene un último término se le llama sucesión finita; si el número de términos es ilimitado, se le llama sucesión infinita. La suma de los términos de una sucesión recibe el nombre de serie; una serie puede ser finita o infinita, dependiendo de la sucesión que la genera.

Ejemplos de sucesiones y su correspondiente regla:

1. 5, 25,125, 625,… Cada elemento se multiplica por 5, para encontrar el siguiente.

2. 3, 5, 4, 6, 5, 7, 6,… Se suma 2, se resta 1, así sucesivamente.

3. 2, 3, 5, 7, 11,… Sucesión de números primos.

4. 4, 15, 224, 50175,… Al cuadrado, menos uno.

5. 1, 5, 2, 10, 3, 15, 4, 20,… Es una sucesión alterna, la posición impar corresponde a nú-meros naturales y la posición par son múltiplos de 5.

POLINOMIOS DE UNA VARIABLE

Consideramos un “Polinomio” en el álgebra a aquella estructura finita conformada por uno o más términos.

Donde tales términos son denominados (Racionales enteros), cuando se afirma que los coeficientes se encuentran unidos con las incógnitas por medio de una operación unica, la multiplicación. Anexando que término a término se encuentran unidos bajo operaciones elementales: Suma y Resta.

De lo contrario si las incógnitas se encuentran unidas con los coeficientes mediante el empleo de operaciones alternas a la multiplicación como es el caso de las operaciones: Radicación , División , etc. se acostumbra denominar a tal estructura como: Multinomio.

El hecho de la afirmación (Una variable) da a conocer que tal estructura se encuentra unicamente ligada bajo una sola clase de incógnitas como es el caso siguiente:

Donde claramente se puede observar que existe solo una clase las (x). Cabe recordar que denominamos incógnita a un valor desconocido y el proceso de obtener las raíces de un polinomio implica conocer el valor de las incógnitas.

Otros concepto clave dentro de todo esto es: coeficiente, el cual denota la cantidad de veces que se posee un mismo termino..

Partiendo del concepto de estructura algebraica con enfoque a la idea de polinomio se va creado una clasificación con el fin de facilitar el hecho de la identificación o bién la manipulación de estas con diversos propositos.

...