Algebra
Enviado por kork827 • 8 de Noviembre de 2013 • Tarea • 867 Palabras (4 Páginas) • 209 Visitas
1
A mxn
A x = b
Sistema Inconsistente
2
A x = b b está en CA
consistente
A x = b b no está en CA
inconsistente
3
4
A x* es un vector del espacio
columna CA
A x* = proy CAb
A x* = b*
Sistema Consistente
5
6
b – A x* mínima
7
x* es una solución de
A x* = b*
x* es una solución de
aproximación de
A x = b
8
A fin de encontrar x* a
partir de A x* = b*
podríamos partir de
A x* = proyCAb
9
Existe una mejor manera de
Conseguirlo
( b – A x* )
es ortogonal a cada
vector de CA
10
Por lo tanto,
( b – A x* )
es ortogonal
a cada vector columna
de A
11
c1 . ( b – A x* ) = 0
c2 . ( b – A x* ) = 0
c1T . ( b – A x* ) = 0
c2T . ( b – A x* ) = 0
12
AT . ( b – A x* ) = 0
AT b – ATA x* = 0
ATA x* = AT b
13
ATA x* = AT b
Ecuaciones
Normales 14
A AT
matriz nxn simétrica
15
A mxn y b en Rm
A x = b siempre tiene al menos una solución por mínimos cuadrados ( o por aproximación ) x*
16
x* es una solución por mínimos cuadrados de
A x = b
si y sólo si
x* es una solución de las ecuaciones normales
ATA x* = AT b
17
A tiene columnas LI
si y sólo si
ATA es Invertible
En este caso
la solución de aproximación de A x = b es única
y está dada por 18
x* = ( AT A )-1ATb
seudoinversa de A
19
x - y = 0
x + y = 0 SEL
y = 1 Inconsistente
A x = b
=
20
Columnas de A LI
ATA = Invertible
x* única solución por aproximación
21
x* = ( AT A )-1ATb
x* =
22
23
x* solución por mínimos cuadrados de
A x = b
b – A x*
error de
mínimos cuadrados
24
= b – A x*
vector de error de
mínimos cuadrados
25
vector de error
de mínimos cuadrados
- =
b - A x* =
26
error
de mínimos cuadrados
=b – A x* 0,2721655
27
Observar las ecuaciones
del sistema
...