El Cálculo Integral

INTRODUCCIÓN

Históricamente, la integral nació como herramienta para calcular el área bajo la grafica de una función. Mediante el cálculo infinitesimal que resuelve este tipo de cuestiones, y a partir de él surge la teoría de los fractuales. Su aparición está muy ligada a la aparición de los ordenadores.

El Cálculo Integral implica conocimientos previos de: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo Diferencial. Es una herramienta de cálculo muy significativa en el estudio de las funciones y sus diferenciales, del mismo modo se emplea en el cálculo de áreas de regiones planas limitadas por curvas así como el cálculo de volúmenes de sólidos irregulares y longitudes de arco, ofrece además aplicaciones a la física del movimiento tales como: trabajo y energía, presión, centroides de masa, momentos de inercia; entre otras.

La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x.

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su primitiva directa.

Si es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es contínua en I en tal caso:

Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:

1. Identificar la fusión a sustituir, es decir Identificar "u" (Usualmente se cometen más errores en este paso).

2. Determinar el diferencial de "u" ("du").

3. Reescribir el integral ya sustituido.

4. Integrar.

Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con ( ):

(1)

Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :

Tenemos que por tanto derivando se obtiene

Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el sinusoide|seno.

Como último paso antes de

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