Expresa las siguientes expresiones como una integral definida

Expresa las siguientes expresiones como una integral definida.

∑_(i=1)^n▒〖[cos⁡〖x_i+x_i tan⁡〖x_i 〗 〗]□∆x〗 en el intervalo [0,π]

∫_0^π▒〖(cos〗⁡〖x_i+x_i tan⁡〖x_i 〗)dx〗

∑_(i=1)^n▒〖[x_i^8-3/i+4/3]□∆x〗 en el intervalo [3,9]

∫_3^9▒(x_i^8-3/i+4/3)dx

∑_(i=1)^n▒〖[x_i^(1/2)+ln⁡〖x_i^3 〗]□∆x〗 en el intervalo [0,3]

∫_0^3▒(x_i^(1/2)+ln⁡〖x_i^3 〗 )dx

Evalúa la siguiente suma de Riemann

f(x)=5x-6 en el intervalo [2,5]

La suma de Riemann está dada por ∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)□∆x〗;

∆x= (b-a)/n; ∆x= (5-2)/n; ∆x= 3/n

x_i=a+i∆x; x_i=2+i∙ ∆x; x_i=2+i∙3/n; x_i=2+3i/n

∑_(i=1)^n▒f(x) ∆x; ∑_(i=1)^n▒f(5x_i-6) ∆x; ∑_(i=1)^n▒[5(2+3i/n)-6] 3/n;

Extraemos la constante 3/n y la sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término.

3/n ∑_(i=1)^n▒[5(2+3i/n)-6] ; 3/n [∑_(i=1)^n▒4+15/n ∑_(i=1)^n▒i];

Aplicamos las identidades

3/n(4n+15/n (n (n+1)/2)= 3/n (4n+15n/2+15/2)= 69/2+45/2n

A esta expresión aplicamos el lim┬(n→∞)⁡:

lim┬(n→∞)⁡〖69/2+45/2n〗; sustituimos ∞ en n: lim┬(n→∞)⁡〖69/2+45/2∞〗; lim┬(n→∞)⁡〖69/2+0= 69/2= 34.5 u^2 〗

Evaluar ∫_2^5▒〖5x-6dx〗

Resolvemos la integral

∫_2^5▒〖5x-6dx〗= ∫_2^5▒〖(5x^2)/2-6x]_2^5 〗= ((5(5)^2)/2-6(5))-( (5(2)^2)/2-6(2))= 125/2-56/2= 34.5

Evalúa la siguiente suma de Riemann

f(x)=x^3-7 en el intervalo [3,4]

La suma de Riemann está dada por ∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)□∆x〗;

∆x= (b-a)/n; ∆x= (4-3)/n; ∆x= 1/n

x_i=a+i∆x; x_i=3+i∙ ∆x; x_i=3+i∙1/n; x_i=3+i/n

∑_(i=1)^n▒f(x) ∆x; ∑_(i=1)^n▒f(x_i^3-7) ∆x; ∑_(i=1)^n▒[(3+i/n)^3-7] 1/n;

Extraemos la constante 1/n , desarrollamos el cubo y la sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término.

1/n ∑_(i=1)^n▒[20+27i/n+(9i^2)/n^2 +i^3/n^3 + ] ; 1/n [∑_(i=1)^n▒20+27/n ∑_(i=1)^n▒i+ 9/n^2 ∑_(i=1)^n▒i^2 +1/n^3 ∑_(i=1)^n▒i^3 ];

Aplicamos las identidades

1/n [20n+27/n (n (n+1)/2)+9/n^2 (n(n+1)(2n+1)/6)+1/n^3 (n(n+1)/2)^2 ]=

1/n (147n/4+37/2+3/2n+1/4n)= 147/4+37/2n+7/(4n^2 )

A esta expresión aplicamos el lim┬(n→∞)⁡:

lim┬(n→∞)⁡〖147/4+37/2n+7/(4n^2 )〗; sustituimos ∞ en n: lim┬(n→∞)⁡〖147/4+37/2∞+7/(4∞^2 )〗; lim┬(n→∞)⁡〖147/4+0+0= 147/4= 36.75 u^2 〗

Evaluar ∫_3^4▒〖x^3-7dx〗

Resolvemos la integral

∫_3^4▒〖x^3-7dx〗= ∫_3^4▒〖x^4/4-7x]_3^4 〗= (4^4/4-7(4))-( (3)^4/4-7(3))= 144/4-(-3)/4= 36.75

Evalúa la siguiente suma de Riemann

f(x)=2x^2+3x+x en el intervalo [-2,1]

La suma de Riemann está dada por ∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)□∆x〗;

∆x= (b-a)/n; ∆x= (1-(-2))/n;

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