. FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

2. FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Guiuseppe Peano [pic 1]propuso 5 axiomas que caracterizan al conjunto de los Números Naturales. Los axiomas se utilizan como punto de partida en la construcción de la estructura total del Sistema de los Números Reales. El conjunto de los números reales junto con las operaciones de la adición y la multiplicación se llama Sistema de los Números Reales [pic 2]. Estas dos operaciones y las propiedades de los números reales, definen la estructura del sistema y permiten a través de los signos y símbolos, expresar hechos matemáticos en forma simple y concisa.

Tabla 1

PROPIEDADES DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Para todo [pic 3]

[pic 4]

2.1 El conjunto de los números naturales mediante los postulados de Peano (N)

-El Conjunto de los Números Naturales (N).- Los números naturales son los que usamos para contar, y forman un conjunto infinito:                                       [pic 5]

El conjunto N satisface los postulados de Peano :

P1.-   1 є N (Existe al menos un número natural, que llamaremos uno y se denota 1).

P2.- Para cada n є N existe un  único n* є N, llamado el siguiente de n. (Indica que si elegimos un número natural, a dicho número le corresponde uno y sólo uno un número natural llamado el siguiente)

P3.- Para cada n є N, se tiene que n*≠ 1. (Establece que el primer número natural es el número 1)

P4.- Si m, n є N y m* = n*, entonces m =n. (Establece que iguales números siguientes son en realidad el mismo número, y se puede establecer que distintos números siguientes son distintos números naturales)

P5.- Postulado de la inducción completa. Todo subconjunto [pic 6]que tenga las propiedades:

          1)  [pic 7].

          2)   [pic 8] implica que [pic 9], es el mismo conjunto N. (establece que se puede alcanzar cualquier número natural, partiendo del número 1 e ir de uno en uno, hasta llegar al número deseado).  

ADICIÓN EN N                                                                             MULTIPLICACIÓN EN N

Se define:                                                                                          Se define:

i)   [pic 10]                                                                  i) [pic 11]

ii)  [pic 12], tal que                       ii) [pic 13], tal que

      [pic 14]este definido                                                                                        [pic 15]este definido

-Orden en los números naturales

 Si m y n є N, se dice que n< m si existe ([pic 16]) x є N, tal que n+ x = m.

Ejemplo:  [pic 17]

Los números naturales es representan como puntos igualmente espaciados en la recta numérica

[pic 18]

 -  Principio de Inducción Matemática

Es importante para la ciencia establecer generalizaciones que expliquen todo cuanto ocurre en la naturaleza. Hay dos caminos para la generalización:

1) El Método Deductivo.-Va de lo general a lo particular. Por ejemplo, la fórmula general para las ecuaciones de segundo grado.

2) El Método Inductivo (llamado Principio de Inducción Matemática).- Va de lo particular a lo general. Consiste en examinar varios casos particulares para descubrir como están relacionados, a estas relaciones se les constituye en generalización.

El peligro de la inducción reside en casos particulares sin importar cuán grande sea su número, puede tener características especiales que hagan que la generalización sea errónea, por ejemplo:

El polinomio propuesto por Euler para los números primos del tipo n2-n+41;

Si    n = 1       12-1+41 = 41                   es un número primo

       n = 2       22-2+41 = 43                   es un número primo

           :                         :                                :

       n = 41       412-41+41 = 1681     no es un número primo, ya que 1681/41=41

Para evitar estos errores de generalización se hace uso del método de demostración llamado “Inducción Matemática”.

Inducción Matemática

Pasos a seguir:

1) Escribir claramente la proposición P(n) cuya validez quiere ser demostrada, especificando la variable de inducción y el conjunto de valores que pueden ser asignados a dicha variable.

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