GUÍA N° 3 DE FACTORIZACIÓN

PRESENTACIÓN

El presente material de instrucción  tiene el propósito de describir de manera fácil con ejemplos sencillos, los métodos de factorización, de manera que a través de la práctica puedan adquirir las competencias necesarias para su desarrollo académico.

El material está conformado por definiciones,  ejemplos resueltos y ejercicios propuestos que llevarán al estudiantado al logro de las competencias planteadas.

CONTENIDOS

1. Factor común en un polinomio.
2. Factorización de cuadrados perfectos.
3. Factorización de un trinomio de la forma [pic 1]
4. Factorización de la diferencia de dos cuadrados.
5. Adición o sustracción de cubos.
6. Factorización combinada.

La factorización es mecanismo matemático mediante el cual se determinan los factores que originan un polinomio. Es decir, el proceso inverso de haber desarrollado el producto de los factores de un polinomio dado.

1. Factor común en un polinomio: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, se puede Factorizan el polinomio en el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común, el otro factor se obtiene dividiendo cada término del polinomio entre el factor común. Los casos son:

1. Factor común monomio: Sean los polinomios

          y                  [pic 2][pic 3]

En cada polinomio los términos son divisibles por un mismo factor: cada término de  es divisible por , quien es el factor común. Por otro lado, cada término de  es divisible por , lo cual es su factor común. Procedemos:[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

, En este tercer caso, para hallar el factor común se calcula el máximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por la menor potencia de la variable que en este caso es , entonces el factor común será , ya que el mcd es 5. Así:[pic 10][pic 11][pic 12]

           luego[pic 13]

[pic 14]

1. Factor común polinomio: Factorizar los siguientes ejercicios:

•  el factor común es el binomio  Ahora dividimos el polinomio por  de la siguiente forma, veamos:[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

•  en esta expresión se observa que el factor común es , ahora se divide cada término entre el factor común.[pic 19][pic 20]

[pic 21]

1. Factor común por agrupación de términos: Factorizar las siguientes expresiones:

•  , En esta expresión no existe un factor común a todos los términos, sin embargo, “z” es común de los dos primeros términos y “y” es común de los dos segundos términos. Sacando dichos factores nos queda: , ahora se nos presentó otro factor común que es  entonces se multiplica y se divide cada término por  de la siguiente forma:[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

 [pic 27]

Entonces

 [pic 28]

• , En los dos primeros factores el factor común es , mientras que en los dos últimos es 4 el factor común, así nos queda. , observamos que tenemos un nuevo factor común que es , luego  [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

• , En los dos primeros términos el factor común es  y en los dos últimos es , así que:[pic 34][pic 35][pic 36]

 , como no se originó otro factor común se invierte los signos en uno de los factores para generar otro factor común, así:[pic 37]

[pic 38]

, sacando este último factor común nos queda.[pic 39]

 , así que:[pic 40]

[pic 41]

1. Factorización de cuadrados perfectos: Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es igual al cuadrado de una suma de dos términos, es decir, si tiene la forma  o también . Veamos algunos ejemplos:[pic 42][pic 43]

•  Para saber si este trinomio es cuadrado perfecto se realizan los siguientes pasos:[pic 44]

• Se ordena el trinomio            [pic 45]
• Tanto el primero como el tercer término son cuadrados perfectos, es decir, se escriben de la forma  , esto es :  y [pic 46][pic 47][pic 48]
• El segundo término del trinomio debe ser igual al doble producto de a por b, En efecto 2ab,     .[pic 49]
• Luego el trinomio es igual al cuadrado de la suma de a mas b.

[pic 50]

• Factorizar el trinomio [pic 51]
• Factorizar el trinomio [pic 52]

1. Factorización de un trinomio de la forma :  Para Factorizar este tipo de polinomios nos apoyaremos en el producto notable PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN   [pic 53][pic 54]

• Por ejemplo:  Observa que el coeficiente de  es 1 y el coeficiente de  es la suma algebraica de los términos no comunes , mientras que el término constante es el producto de los términos no comunes .[pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]
• Factorizar , en este caso vamos a buscar dos números tales que sumados den 11 y multiplicados den 30, bueno estos números son el 5 y el 6. Entonces los factores son .[pic 60][pic 61]
• Factorizar , en este caso vamos a buscar dos números tales que sumados den y multiplicados den 30, bueno estos números son el  y . Entonces los factores son .[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]
• Factorizar , en este caso buscamos dos números que sumados den 1 y multiplicados den , sabemos que estos números son . Así que  .[pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]
• Factorizar , Aquí buscamos dos números que sumados den , estos números son . Luego .[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]
• Factorizar  , aquí buscamos dos números que sumados den , estos números son el . Así que: .[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78]

1. Factorización de la diferencia de dos cuadrados: para Factorizar una diferencia de cuadrados se escribe cada término igual a un cuadrado perfecto, cuya factorización viene dada por: . Observa los siguientes ejemplos:[pic 79]

• [pic 80]
• [pic 81]
• [pic 82]

1. Adición y sustracción de cubos:

Adición de cubos: La suma de dos cubos se puede descomponer en el producto de dos factores, donde el primero es un binomio igual a la  suma de las bases de los cubos y el segundo factor es un trinomio igual a la suma de los cuadrados de las bases menos el producto de las dos bases, es decir, . Ejemplos:[pic 83]

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