Geometria Proyectica

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Parte III

Geometr´ıa proyectiva

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Como ya sabemos existen distintas geometr´ıas, seg´un las estructuras que se

estudian. As´ı, la geometr´ıa af´ın est´a asociada a la estructura de espacio af´ın. El

grupo de transformaciones relevante en la geometr´ıa af´ın son las afinidades (conservan

la estructura de espacio af´ın). Las propiedades afines son aquellas conservadas

por las afinidades (colinealidad, paralelismo, forma -pero no medida-).

La geometr´ıa eucl´ıdea es la asociada a la estructura de espacio af´ın eucl´ıdeo.

Las transformaciones relevantes son las isometr´ıas, y los conceptos t´ıpicamente

eucl´ıdeos son el de distancia y ortogonalidad.

Todos los conceptos afines son tambi´en eucl´ıdeos, pero no a la inversa. Del

mismo modo, todas las aplicaciones que conservan la estructura eucl´ıdea (las

isometr´ıas) son afinidades (que conservan la estructura af´ın), aunque no toda

afinidad es una isometr´ıa. Es decir, que en ese sentido la geometr´ıa af´ın es m´as

general que la eucl´ıdea.

La geometr´ıa proyectiva es, en esta l´ınea, m´as general que las otras dos.

As´ı que los conceptos propios de esta geometr´ıa ser´an muy pocos, y todos los

resultados que se obtengan ser´an de alg´un modo ciertos en geometr´ıa af´ın o

eucl´ıdea.

Como veremos, en geometr´ıa proyectiva no s´olo no hay noci´on de distancia

(como en la eucl´ıdea), sino que tampoco hay noci´on de paralelismo (como en la

af´ın). S´olo la colinealidad y la incidencia son t´ıpicamente proyectivos.

Isometrias

Transformaciones

proyectivas

Afinidades

La geometr´ıa proyectiva es aquella que trata las propiedades que se conservan

bajo proyecciones. Tiene aplicaciones en visi´on artificial, funcionamiento

de c´amaras, reconstrucci´on de im´agenes bidimensionales en tres dimensiones,

etc. . .Es la geometr´ıa asociada al modo en que el ojo humano percibe el mundo.

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Cap´ıtulo 5

El espacio proyectivo

5.1. La noci´on de espacio proyectivo

5.1.1 La geometr´ıa proyectiva surgi´o a partir de los artistas renacentistas,

que observaron que ten´ıan que comprender c´omo se pueden representar escenas

tridimensionales en lienzos, que son bidimensionales (Durero, S. XVI, estudios

de perspectiva).

Lo que el ojo ve son los rayos de luz que se reflejan en cada punto de la

escena y le llegan desde ellos.

· ·

·

·

· ·

Figura 5.1: La geometr´ıa proyectiva est´a conectada con nuestra forma de ver el

mundo.

De modo que lo que pinta el artista es el resultado de “‘proyectar”la escena

sobre un plano (el lienzo) situado entre la escena y el ojo, usando como centro

de proyecci´on el ojo (lo mismo ocurre con una c´amara).

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142 CAP´ITULO 5. EL ESPACIO PROYECTIVO

5.1.2 ¿C´omo formalizar la situaci´on descrita? El modelo es el siguiente:

Supongamos que el ojo es el origen de R3, de modo que los rayos de luz que

llegan a ´el son rectas que pasan por el origen. Supongamos que estamos mirando

un paisaje plano π, como el de la figura 5.2 (la v´ıa de un tren):

p

p

p

L

Figura 5.2: Las v´ıas de un tren parecen cortarse en un punto en el infinito.

Los objetos que viven en π quedan representados en el lienzo π′ por medio

del punto de corte de la recta correspondiente con π′.

Dos rectas paralelas, perpendiculares a L = π∩π′ (o sus representaciones en

π′), parecen cortarse en cierto punto p que no corresponde a ning´un punto de π.

En los trabajos de perspectiva se llama a un punto como este punto evanescente,

y es algo as´ı como un “punto en el infinito”(en el horizonte), que nuestro ojo

a˜nade a π por su forma de percibir la realidad. Obviamente todos los puntos de

la recta paralela a L que pasa por p son de este tipo (linea del horizonte).

Por otra parte, las traviesas de la v´ıa se ven en π′ como segmentos cada vez

m´as peque˜nos. De modo que la proyecci´on a π′ no conserva ni el paralelismo ni

las longitudes o distancias.

5.1.3 La uni´on del plano π con todos los “puntos en el infinito.es lo que se va

a llamar el plano proyectivo.

Para simplificar, consideremos la misma cuesti´on pero en una dimensi´on

menor: coloquemos un ojo en el origen de R2, mirando hacia la recta (af´ın) real

R, que suponemos que no pasa por el origen de R2:

La recta proyectiva real es la uni´on de la recta af´ın real R con un punto del

infinito. La notaci´on habitual ser´a P1

R = R ∪ {P∞}.

Cada punto de R corresponde en P1

R a (el corte con la recta R) de una recta

vectorial (i.e. que pasa por el origen) de R2. La ´unica recta vectorial que falta

(la paralela a la recta af´ın R) corresponde al punto del infinito P∞ de P1

R.

Es decir, que la recta proyectiva real se corresponde de manera 1 − 1 con el

conjunto de las rectas vectoriales de R2. Volveremos a esta idea m´as adelante.

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5.1. LA NOCI´ON DE ESPACIO PROYECTIVO 143

p

"Punto del infinito"

|R

Recta afin real

Figura 5.3: Construcci´on de la recta proyectiva real.

Volviendo al plano proyectivo real :

Origen de IR3

Plano por (0,0,0)

IR , plano afin 2

Recta del infinito

Figura 5.4: El plano proyectivo real.

¿Cu´antos puntos en el infinito hay ahora? Tantos como rectas contenidas en

el plano paralelo al plano af´ın R2 que pasa por el origen de R3 (lo cual coincide

exactamente con la descripci´on que acabamos de hacer de la recta proyectiva).

Al conjunto de los puntos en el infinito del plano proyectivo real se les suele

llamar recta en el infinito (pero ojo, es una recta proyectiva, y no af´ın).

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