Límites y Continuidad

Límites y Continuidad

Propiedades:

• Sean  f, g:  tales que[pic 1]

 y  [pic 2][pic 3]

Entonces:

1. [pic 4]
2. [pic 5]
3. [pic 6]
4. [pic 7]
5.   siempre que  sea  0[pic 8][pic 9][pic 10]

Ejemplos; calcular los siguientes limites

1. [pic 11]
2. [pic 12]
3. [pic 13]
4. [pic 14]

Solución:

1. [pic 15]
2. [pic 16]
3. [pic 17]
4. [pic 18]

Teorema (unidad del límite)

Sea f: ; si  existe, entonces es único.[pic 19][pic 20]

Este resultado es equivalente a su contra recíproco, es decir; “si el limite no es único entonces no existe” por tanto: “si se encuentran dos trayectorias (caminos)  por los cuales:[pic 21]

                                                                                                                               [pic 22][pic 23]

Entonces;  no existe [pic 24]

Ejemplo; probar que:   no existe [pic 25]

[pic 26]

Sea;  eje x[pic 27]

         entonces;[pic 28]

    [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

  y como;[pic 32]

[pic 33]

   [pic 34][pic 35]

Entonces  no existe [pic 36]

Ejemplo; calcular si existe

1. [pic 37]
2. [pic 38]

Solución:

b)   sea  eje y;   [pic 39][pic 40][pic 41]

  [pic 42]

                           [pic 43]

[pic 44]

Y como   [pic 45]

                  [pic 46][pic 47]

No existe [pic 48]

[pic 49]

GRAFICA

1.  por cualquier camino en el plano que se acerque al origen se obtiene que:[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

Por tanto “parece” que

[pic 53]

Demostramos esto; dado existe  tal que si [pic 54][pic 55][pic 56]

Entonces [pic 57]

 Como [pic 58]

Se sabe que      ;  [pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

[pic 63]

...