LA CIRCUNFERENCIA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA

LA CIRCUNFERENCIA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA

Definición: Es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

(h, k) son las coordenadas del centro de la circunferencia

 = 1                                         = 1[pic 1][pic 2]

Multiplicar por 82                           Multiplicar por r2

(x – h)2 + (y – k)2 = 82                                                            (x – h)2 + (y – k)2 = r2

Es la ecuación de una circunferencia con centro en (h, k) y radio 8.

Caso 1: establecer la ecuación de la circunferencia dado el centro y el radio[pic 3]

Determina la ecuación general de la circunferencia con centro en (- 2, 4) y radio 5

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

(x + 2)2 + (y – 4)2 = 52

(x + 2)2 + (y – 4)2 = 25

Desarrollar los binomios e igualar a cero

x2 + 4x + 4 + y2 – 8y + 16 - 25 = 0

ordenando términos

x2 + y2 + 4x – 8y - 5 = 0

Caso 2: establecer la ecuación y gráfica de la circunferencia dados los extremos del diámetro.

Si A(4, - 6) y B(5, 3) son los extremos del diámetro de una circunferencia, determina su ecuación general y dibuja su gráfica.

El punto medio es el centro y la distancia del centro a cualquiera de los puntos es la medida del radio

• Ubicar el centro: el punto medio es C ([pic 4]
• La distancia del centro a cualquiera de los puntos (radio) está dado por

 =  =  = 4. 527692569[pic 5][pic 6][pic 7]

Si r = ; r2 = [pic 8][pic 9]

La ecuación ordinaria es: (x - )2 + (y + )2 = [pic 10][pic 11][pic 12]

Desarrollar binomios

x2 – 9x +  + y2 + 3y +   = [pic 13][pic 14][pic 15]

agrupar términos e igualar a cero

x2 + y2 – 9x + 3y +  +  -   = 0[pic 16][pic 17][pic 18]

x2 + y2 – 9x + 3y +    = 0: o  bien,         x2 + y2 – 9x + 3y +    = 0         x2 + y2 – 9x + 3y + 2 = 0[pic 19][pic 20]

multiplicar por 4        multiplicar por 2        

4x2 + 4y2 – 36x + 12y +  8  = 0        2x2 + 2y2 – 18x + 6y + 4 = 0

Caso 3: el centro de la circunferencia se localiza en la intersección de dos rectas y como dato adicional se tiene la longitud del radio.

Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro se localiza en la intersección de las rectas x – 2y + 1= 0 y 2x + 3y – 12 = 0 y radio de 4 unidades.

x – 2y + 1 = 0        A

2x + 3y – 12 = 0        B

-2A + B        3A + 2B

-2x + 4y  - 2  = 0        3x – 6y + 3 = 0

2x + 3y  – 12 = 0        4x + 6y – 24 = 0[pic 21][pic 22]

0      7y – 14 = 0        7x         - 21 = 0

y = 2        x = 3

el punto de intersección es C(3, 2)

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 16

x2 + y2 – 6x - 4y - 3 = 0

Caso 4. Como datos se dan la ecuación de una recta tangente a la circunferencia y el centro.

Centro en C(- 4, 6) y recta tangente 2x + 3y - 2 = 0

PARA DETERMINAR EL RADIO, DEBEMOS CALCULAR LA DISTANCIA DE LA RECTA AL PUNTO (CENTRO).

d = r =         (Todas las rectas tangentes son perpendiculares al radio)[pic 23]

r =  = [pic 24][pic 25]

la ecuación de la circunferencia está dada por (x + 4)2 + (y – 6)2 = [pic 26]

x2 + y2 + 8x – 12y + 16 + 36 -  = 0[pic 27]

x2 + y2 + 8x – 12y + 52 -  = 0[pic 28]

multip. Por 13

13x2 + 13y2 + 104x – 156y + 676 – 64 = 0

13x2 + 13y2 + 104x – 156y + 612 = 0

Caso 5: el centro de la circunferencia se localiza sobre una recta y se conocen una recta tangente y el punto de tangencia

Determina la ecuación general de la circunferencia que es tangente a la recta x – y + 3 = 0 en el punto (2, 5), y el centro se localiza sobre la recta x + 2y – 5 = 0[pic 29]

La pendiente de la recta tangente es m = ;   (m = )[pic 30][pic 31]

Con la pendiente inversa y el punto de tangencia se determina la ecuación de una recta perpendicular que pasa por el centro

m = - 1; (2, 5)

b = 5 – (- 1)(2) = 7

y = - x + 7; o bien, x + y – 7 = 0

la ecuación anterior y con la recta que contiene al centro se establece un sistema de ecuaciones, que al resolverse determina las coordenadas del centro.

x + y – 7 = 0

x + 2y – 5 = 0

Al resolver el sistema de ecuaciones se establece que el centro de la circunferencia se localiza en el punto C(9, - 2)

(x – 9)2 + (y + 2)2 = 98

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