LABORATORÍO DEL CUERPO RIGIDO Y OSCILACIONES.

UEA: 1111093

LABORATORÍO DEL CUERPO RIGIDO Y OSCILACIONES.

GRUPO: CTG81

MOMENTO DE INERCIA Y TORCA.

INTEGRANTES DE EQUIPO:

NÚMERO DE MESA DE TRABAJO: 5

En esta segunda sesión se midió la inercia rotacional de un disco girando horizontalmente y transversalmente, para esto se analizó la variación de su velocidad angular a lo largo de su rotación aplicando  torcas conocidas. Se compararon los resultados obtenidos con los resultados esperados  aplicando la fórmula de la inercia

30/01/2017

INTRODUCCIÓN:

La inercia rotacional teórica 𝐼, de cualquier objeto viene dada por la expresión

𝐼=∫𝑟²𝑑𝑚                                                                                       (1)

                                                                                                                                                                                   Donde r se refiere a la distancia del eje de rotación al punto a integrar que posee un diferencial de masa dm.

El elemento más sencillo es un objeto “puntual”, es decir aquel que no tiene dimensiones, por lo cual se puede  suponer que toda su masa está concentrada en un mismo punto, esto permite considerar a r como constante. Al no depender r de la variable a integrar, podemos sacarla de la integral, con lo cual se obtiene.

𝐼=𝑚𝑟²                                                                                      (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

Esta expresión permite conocer el valor esperado o teórico del momento de inercia de un objeto puntual. Aunque los objetos puntuales son una idealización, se puede aproximar cualquier objeto como un objeto puntual, si se considera que toda su masa está concentrada en el centro de masa.[pic 1][pic 2]

Se considera ahora el caso de un disco que gira en torno a un eje perpendicular a su plano y que pasa por su centro de masa. (Figura 1)

𝐼 =∫𝑟²𝑑𝑚=∫ᴿ𝑥²𝑀/𝜋𝑅²2𝜋𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑀/𝑅² ∫ᴿ𝑥³𝑑𝑥                                                (3)                                                                                          

Realizando la integral y simplificando se obtiene.

𝐼=1/2𝑀𝑅²                                                                                           (4)                                                                                                                                                                  

Para el caso de la inercia rotacional de un disco que gira en torno a un eje que pasa por su diámetro, la integración cambia. (Figura 2)[pic 3][pic 4]

Ahora se integra a través de cortes paralelos al eje de rotación de alto 2y y ancho dx, de tal forma que la integral queda como

𝐼 = ∫𝑟²𝑑𝑚 = ∫ᴿ𝑥²𝑀/𝜋 𝑅² 2 𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑀/𝜋𝑅²∫ᴿ𝑥2𝑦𝑑𝑥                                            (5)                                                                                    

Donde

𝑥=𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃                            𝑦=𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃

Con lo cual

[pic 5]                                                           (6)                                                                                                            

Donde 𝑑𝑥=𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃, simplificando y agrupando términos semejantes obtenemos

[pic 6]                                                 (7)                                                                                                                

La segunda ley de Newton para el caso rotacional dice que se puede relacionar la torca o momento de fuerza 𝜏 con la aceleración angular 𝛼 y el momento de inercia 𝐼 a través de la siguiente expresión

Σ 𝜏 = 𝐼 𝛼                                                                                              (8)

De tal forma que si se aplica una torca conocida y se mide la aceleración angular producida se puede conocer el momento de inercia de dicho objeto

𝐼 = 𝜏/𝛼                                                                                                                                                                        (9)

Retomando la definición de torca

𝜏 = 𝑟×𝐹                                                                                                                                                                      (10)

Donde r es la distancia del eje de rotación al punto de aplicación de la fuerza F. Combinando las dos ecuaciones anteriores y despejando I, se obtiene:

𝐼=𝑟 𝐹 𝑠𝑒𝑛𝜃/ 𝛼                                                                                                                                                 (11)

Aplicando la segunda ley de Newton a la masa m que cuelga.

Como el movimiento natural es hacia abajo, se toma dicha dirección como positiva, con lo cual las fuerzas que actúan sobre la masa colgante son

𝑚𝑔 – 𝑇 = 𝑚𝑎                                                                                                                                                   (12)                                

Resolviendo para la tensión en el hilo, se obtiene:

𝑇 = (𝑔− )                                                                                                                                                        (13)                      

Donde la aceleración del hilo a, puede reemplazarse por el producto de la aceleración angular (en radianes) por el radio de la polea.

𝑎 =  𝛼 𝑟                                                                                                                                                 (14)                                    

Una vez que la aceleración lineal de la masa m ha sido medida, se pueden obtener el torque y la aceleración angular para calcular la inercia rotacional combinando las ecuaciones 4 y 6.

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