LEY DE BIOT – SAVART CON COBRA 4

LEY DE BIOT – SAVART CON COBRA 4

1. OBJETIVO

Medir la densidad de flujo magnético a lo largo del eje de las bobinas largas y compararlo con valores teóricos, verificando la validez de la ley de Biot – Savart, con la sonda Hall e investigar su dependencia con su radio y el número de vueltas.

Medir el campo magnético B de una bobina de aire larga como función de la corriente I.

1. FUNDAMENTO TEÓRICO.

La ley de Biot Savart

A principios del otoño de 1820, los científicos franceses Biot y Savart miden la dirección de las oscilaciones de una aguja imantada según la distancia a una corriente eléctrica rectilínea, comprobando empíricamente que la fuerza producida por dicha corriente eléctrica es inversamente proporcional al cuadro de la distnacia y directamente proporcional a la intensidad de la misma. Basándose en estos resultados, La Place dedujo matemáticamente la Ley de Biot – Savart, que por lo tanto es conocida también como ley de La place, y que permite calcular el campo magéntico B creado por un circuito de forma cualquier recorrido por una corriente de intensidad i.[pic 4]

B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, ut es el vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl.ur es un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente,                                         en el sistema Internacional de Unidades.[pic 5]

Campo producido por una espira

En la figura, se muestra una espira circuilar de radio a, recorrida por una corriente de intensidad i. El punto P está sobre el eje de la espira a una distancia z de su centro.

Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P. La ley de Biot nos permite calcular el campo magnético creado por dicho elemento de corriente. [pic 6][pic 7]

Fijarse que los vectores unitarios ut y ur forman 90º. El vector campo magnético dB tiene dos componentes:[pic 8]

A lo largo del eje de la espira dbCos(90-ϴ)

Perpendicular al eje de la espira dBSen(90- ϴ)

Por razón de simetría, las componentes perpendiculares al eje creadas por elementos diametralmente opuestos se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético resultante está dirigido a lo largo del eje y puede calcularse mediante una integración sencilla ya que r es constante y q es constante[pic 9]

En el centro de la espira z=0, tenemos:[pic 10]

El sentido del campo magnético viene determinado por la regla de la mano derecha, para n espiras se tiene.

Cuando se disponen varias espiras iguales, igualmente espaciadas, se va creando un campo cuya dirección es cada vez más paralela al eje común de las espiras, a medida que se incrementa su número.

Campo producido por un solenoide en un punto de su eje.

Vamos a calcular el campo producido por el solenoide en un punto P situado en el eje del selenoide sumando el campo producod por las N espiras.

[pic 11]

En la figura, tenemos un corte longitudinal de un solenoide de longitud L, formando por N espiras iguales de radio a. Todas las espiras del solenoide producen en P un campo que tiene la misma dirección y sentido, pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.

El número de espiras que hay en el intervalo comprendido entre x y x+dx es dn=Ndx/L

Estas espiras producen en P un campo que es el  producto del campo producido por una espira por el número dn de espiras:

[pic 12]

Para integrar, tenemos que hacer el campo de variable a=xTan ϴ, y teniendo en cuenta que 1+Tan2 ϴ=1/cos2 ϴ, simplificamos mucho la integral:

[pic 13]

Si el solenoide es muy largo comparado con su radio a y si el punto P está situado en el centro, tendremos que ϴ1->π, y ϴ2->0. El campo B vale entonces:

[pic 14]

Representamos ahora, el campo B dentro de la región cercana a los extremos del solenoide, en función de la posición y del punto P situando el origen de coordenadas en el centro del solenoide tal como se muestra en la figura:  

[pic 15]

[pic 16]

El campo magnético es máximo en el centro del solenoide, en los extremos del solenoide se reduce a la mitad.
[pic 17]

Para el centro de la bobina, z=0 se reduce:

[pic 18]

Para una bobina de largo (L>>R), un solenoide, la ecuación superior finalmente se reduce a:

[pic 19]

En la situación ideal de un solenoide formado por un número grande de espiras apretadas, cuya longitud es grande comparada con su diámetro, el campo en el interior es casi uniforme y paralelo al eje y en el exterior es muy pequeño. En estas condiciones es aplicable la ley de Ampere, para determinar el campo magnético en el interior del solenoide.

1. SISTEMA DE EXPERIMENTACIÓN

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