Las diferenciales binomiales

Las diferenciales binomiales son integrales con exponentes fraccionarios y exponentes naturales. Las diferenciales binomiales sirven para resolver integrales de raíces cuadradas con un exponente dentro de ellas y multiplicando a otro con exponente afuera, por ejemplo cuando es raíz cuadrada utilizamos 1/2, cuando se habla de raíz cubica usamos 1/3 y asi sucesivamente, si tenemos la forma 3x pasa elevado a la potencia 1/3, porque utilizamos el numero al que esta elevado el elemento dentro de la raíz como numerador, en este caso es 1, y el número de la raíz(cuadrada, cubica, etc.) como denominador, cuando esto sucede en una integral tendremos un diferencial binomial y podremos aplicar la sustitución de acuerdo a los casos. Un ejemplo de cómo es una diferencial binomial se representa de la siguiente forma: xm(a+bxn)pdx donde las constantes son a y b, los exponentes m y n y los números racionales como p.

Cuando se elige un numero entero α de tal manera en la que podemos deducir que mα y nα son números positivos enteros. Note que las integrales de tipo I son las de tipo general, pero con a=b=n=1. Toda diferencial binomial tipo general debe ser transformada a binomial de caso I: b xn = a t. Podemos ver que antes de ver que tipo de caso es, debemos ver que esta diferencial dada sea equivalente a otra de la misma forma, donde m y n se han reemplazado por números enteros y esta diferencial debe ser representada como la siguiente:

xm(a+bxn)pdx=xm+np(ax-n+b)pdx

En esta el exponente n(positivo o negativo) reemplaza al exponente n de x. Por lo tanto, cualquiera que sea el signo de n, el exponente de x dentro del paréntesis deberá ser positivo en una de las diferenciales.En el caso 1 se dice que si m+1n = un numero entero o cero tenemos que: a+bxn=zn siempre y cuando sea posible elegir a de manera que m a y n a sean enteros, ya que podemos tomar a=el mínimo común múltiplo de los denominadores de m y n.

El caso 2 es cuando m+1n+r/s = un numero entero o cero. En este caso hacemos la sustitución a+bxn=zsxn. Por lo que en general la integral a evaluar queda de la siguiente forma: x3dx(a+bx2)-32 = 1b2 2a+bx2a+b2+C

[1] William Anthony Granville. (2009). Calculo Diferencial e Integral. Balderas 95,México, D.F 06040. Editorial LIMUSA

[2] Martin Gardner. (1998). Calculo Diferencial e Integral. New York, N.Y. 10020, U.S.A.: McGraw-Hill.

[3] Jon Rogawski. (2012). Calculus, Multivariable. Second Edition. New York, United States of America: Editorial Reverté.

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