Diferenciales

Resuelva el problema de valor inicial

2x2y’’ + 3xy’ – y = 0; sí y (1) = 2 y’(1) = 1

POR CAUCHI – EULER TENEMOS

ax^2 y^''+ bxy^'+cy=0

Tiene solución y=x^m

y=c_1 x^m1+c_2 x^m2

2x^2 y^''+3xy^'-y=0

y_((1) )=2

〖y^'〗_((1) )=1

2x^2 ((m)(m-1) x^(m-2) )+3x(mx^(m-1) )-x^(m )=0

2m(m-1) x^(m )+3mx^m-x^m=0

x^m (2m(m-1)+ 3m-1)=0

2m(m-1)+3m-1=0

2m^2-2m+3m-1=0

m= (-1±√(1-4(2)(-1) ) )/4=(-1±3)/4

m_1=1/2 m_2=-1

Las soluciones serán:

Para la primera condición de frontera

y=C_1 X^(1/2)+C_(2 ) X^(-1)

Y_((1) )=2 ≫Y_((1) )=C_(1 ) (1)^(1/(2 ))+C_2 (1)^(-1)

C_1+C_2=2

Para la segunda condición de frontera

Y_((1))^'=1≫Y^'=1/2 C_1 X^((-1)⁄2)-C_(2 ) X^(-2)≫Y_((1))^'=1/2 C_(1 ) (1)^((-1)⁄(2 ))-C_(2 ) (1)^(-2)=1

C_1-2C_2=2

Resolviendo el sistema tenemos

C_1=2 C_2=0

Luego

Y=2X^(1⁄2)

Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

A. Y1=1 e Y2= log x

W_(Y_(1 ) Y_2 )=|█(Y_(1 ) Y_2@Y_1^' Y_2^'@)|=|█(1 LogX@0 1/(X Ln10) )|=1(1/XLn10)-0(LogX)=1(1/XLn10)

B. Y1= eax e Y2= x eax

W=|█(e^ax xe^ax@ae^(ax ) (e^ax+xae^ax ) )|=(e^2ax+axe^2ax-axe^2ax )=(e^2ax )

C. Y1=e-x e Y2= e2x

W=|█(e^(-x) e^2x@-e^(-x ) 2e^2x )|=(〖2e〗^x+e^x )=(〖3e〗^x )

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

ay^''+ by^'+ cy=F(x)

Forma

ay^''+ by^'+ cy=0

Raíces reales distintas

y=C_(1 ) e^(m_1 x )+ C_(2 ) e^(m_(2 ) x)

Raíces reales iguales

y=C_(1 ) e^(m_1 x )+ C_(2 ) e^(m_(2 ) x)

Raíces complejas

y=C_(1 ) e^((∝ +xβ)^x )+ C_(2 ) e^((∝ -xβ)^x )

y=e^(∝x ) (C_(1 ) cos⁡〖βx+ C_(2 ) sin⁡βx 〗 )

〖4y〗^''- 8y^'+ 7y=0

4m^2- 8m+ 7=0⟹ m= (8±√(64-4(4)(7) ))/2(4) ⟹m= (8 ±√(-18))/8

m= 1 ± √3ι/2 = ∝=1 β= √3/2

y=e^(x ) (C_(1 ) cos⁡〖(√3/2 x)+ C_(2 ) sin⁡(√3/2 x) 〗 )

...