Las ecuaciones diferenciales se pueden palicar a varias áreas de la ingeniería

Las ecuaciones diferenciales se pueden palicar a varias áreas de la ingeniería, para abrirnos en el tema considere una viga horizontal AB s. Se supone que la viga es uniforme en su sección transversal y de material homogéneo. El eje de simetría se encuentra en el plano medio indica por la zona sombreada. A B Cuando está sometida a fuerzas, las cuales suponemos que están en un plano que contiene el eje de simetría, la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se muestra en la siguiente figura. A B Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas externamente, o a una combinación de ambas. El eje de simetría distorsionado resultante, situado en el plano medio distorsionado de la segunda figura, se llama la curva elástica. La determinación de esta curva es de importancia en la teoría de elasticidad. Hay muchas maneras de apoyar vigas. 26 Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniería Vigas en voladizo: una viga en la cual el extremo A está rígidamente fijo, mientras que el extremo B está libre, para moverse. Viga simplemente apoyada: la viga está apoyada en los dos extremos A y B. Hay más formas y más condiciones para la deflexión que serán aplicadas a cada tipo de problema. Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes maneras de aplicar fuerzas de carga externa. Carga uniformemente distribuida sobre toda la viga. Carga variable sobre toda la viga o sólo en una parte de ella. Carga puntual o concentrada. Considere la viga horizontal OB de la figura siguiente. Colocando el eje de simetría (línea punteada) en el eje X tomado como positivo a la derecha y con origen en 0. Escoja el eje Y como positivo hacia abajo. x=0 x A 0 F1 F2 y x=L B F3 M(x) A x=0 0 F1 x F2 x=L B F3 X X Y Y Debido a la acción de las fuerzas externas F1 y F2 (y si es apreciable el peso de la viga) el eje de simetría se distorsiona en la curva elástica que se muestra punteada en la figura de abajo donde hemos tomado la viga como fija en 0. El desplazamiento y de la curva elástica desde el eje X se llama la deflexión o flecha de la viga en la posición x. Así, si determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la deflexión de la viga. Para poder formular la ecuación debemos saber: 27 Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniería Sea M(x) el momento flector en una sección transversal vertical de la viga en x. Este momento flector se define como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que actúan sobre un lado de x, los momentos se toman sobre una línea horizontal en la sección transversal en x. Al calcular los momentos adoptaremos la convención de que fuerzas hacia arriba producen momentos negativos y fuerzas hacia abajo producen momentos positivos, asumiendo por supuesto que el eje y se toma hacia abajo como se mencionó antes. No importa cuál lado de x se tome puesto que los momentos flectores calculados desde cualquier lado son iguales. El momento flector en x está simplemente relacionado con el radio de curvatura de la curva elástica en x, siendo la relación: [ ] )( )'(1 '' 32 2 xM y y EI = + Donde E es el módulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseño de la viga, e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en x con respecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gravedad de esta sección transversal. El producto EI se llama la rigidez y se considerará como una constante. Si asumimos que la viga se dobla sólo levemente, lo cual es válido para muchos propósitos prácticos, la pendiente y’ de la curva elástica es tan pequeña que su cuadrado es despreciable comparado con 1, y la ecuación se puede remplazar por la buena aproximación: = xMEIy )

...