Las matemáticas en la papiroflexia

Las matemáticas en la papiroflexia.

         La papiroflexia (es una técnica que consiste en doblar papel sin realizar ningún recorte, además,  beneficia al desarrollo intelectual del niño/a y ha sido de gran ayuda en diversas áreas educativas especialmente en matemáticas (Actividades infantles, 2013)),  es conocida comúnmente como origami,  floreció con mayor intensidad en los años 501-600  d. C en Japón, a pesar de tener su origen en China cuando nació el papel (siglo I o II.).  El arte del origami o papiroflexia se divide en varios aspectos de los cuales los más conocidos son: El modular; consiste en unir varias piezas idénticas para formar una más compleja y el húmedo que permite mojar los dobleces para una mejor manipulación^[1].

         Este arte se extendió por todo el mundo, donde  varios personajes se dedicaron a estudiarla como por ejemplo el físico Robert Lang (estadounidense, 57 años),  quién se dio cuenta de que las matemáticas servían para crear figuras más complejas como un insecto con todas sus patas e incluso seres de fantasía, para hacer esto posible sin que se desperdiciara mucho papel Lang creo el programa TreeMaker, que consiste en proporcionar patrones para realizar una representación más elaborada, además desarrolló el ReferenceFinder, que permite dividir en partes iguales el material a través de puntos o líneas y creó varios libros relacionado a esta área. (Mufson, 2014).

El propósito del proyecto es demostrar la conexión entre las matemáticas y la papiroflexia, con la que se realizó varias figuras donde se comprueba el teorema antes mencionado y otros teoremas como: el de Leonhard Euler (1707-1783), quien aportó con la fórmula que sirve para encontrar las caras, vértices o aristas en este caso del icosaedro; Toshikazu Kawasaki (1955) creó varios libros como: , Rose Dream Origami, Origami yume world ; Kazuo Haga (1934) escribió un libro que ayuda a demostrar su teoría Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding  y Toshiyuki Meguro, quien ha propuesto varias teorías de la cual resalta de que ningún color coincide con el mismo.

En uno de los modelos de papel realizado (la grulla) descubrí que entre las figuras obtenidas después de desdoblarse se encuentran varios cuadrados y triángulos, de la cual me llamo la atención los triángulos escalenos cuyos lados tienen diversas medidas, en tales circunstancia se procede al cálculo de sus ángulos aplicando la ley del coseno, luego se calcula el su área y perímetro, debido a que se encuentran en los cuatro lados de la hoja de papel.  

Además utilizaré el coeficiente de correlación momento-producto Pearson  para comprobar la relación existente entre la cantidad de figuras con la del origami, debido a que cuando realizamos una representación y después la desdoblamos descubrimos que el papel tiene varias figuras, en donde nos demuestra que las matemáticas están presente en todos lados e incluso en las cosas que menos pensamos.

Información/mediciones

Para comprobar la relación que existe entre la papiroflexia y  las matemáticas se construyó varias figuras de origami como: una grulla de papel, un icosaedro con 30 piezas, una rana, oso, perro y un corazón. Además del antes mencionado se utilizarán varios teoremas que son fundamentales para demostrar la relación existente entre las matemáticas y la papiroflexia de los cuales tenemos al teorema de Meguro, Kawasaki, Euler, y Haga.

En el teorema de Meguro se afirma que se obtiene un patrón al desdoblar la figura en donde sí se pinta de dos colores consecutivamente nunca se van a unir.  El teorema de Kawasaki fue creado por Toshikazu Kawasaki, que trata de que la suma de sus ángulos alternadamente va a dar como resultado 180° y puede ser tomado de cualquier lado de la figura.

El teorema de Euler nos ayudará a comprobar la teoría que propuso Leonhard Euler, sobre los poliedros que consiste en que la resta entre el  vértice y las aristas junto con la suma de sus caras siempre va a ser igual a 2. Además utilizaré el teorema de Haga, que consiste en dividir el papel inicial en partes iguales, por ejemplo hacemos uso de este proceso cuando dividimos a la mitad el papel o a la tercera parte sin necesidad de realizar muchos dobles. Sin embargo no debemos olvidar que las figuras geométricas influyen mucho en este arte del doblado de papel, puesto, que cuando desdoblamos la figura que hicimos nos queda un conjunto de líneas que forman figuras geométricas principalmente triángulos y cuadrados.

Procedimientos matemáticos:

Después de construir los modelos de la papiroflexia se realizaron diversos procesos para comparar la relación existente entre las matemáticas y el origami.

     Proceso 1:

Toshiyuki Meguro propuso que las figuras geométricas obtenidas de una base cuadrada al momento de desdoblarse nunca van a coincidir con el mismo color si se pintaran, este teorema fue apoyado por el científico Robert Lang, quien abandonó su trabajo en la Nasa para dedicarse a tiempo completo a la pasión que  siente por el arte del origami (Pérez, 2016).^[2]

Esto lo podemos ver en la figura desdoblada de la grulla:[pic 1]

Lo primero que hice fue desdoblarla y marcar todas las líneas formadas con un marcador, luego escogí dos colores para pintar cada sección alternadamente y demostrar que si se cumple la teoría de Lang de que ningún color coincide con el mismo.

     Proceso 2:

Para comprobar el teorema de Kawasaki, que consiste en que la suma de los ángulos alternados de cualquier lado de una figura de la papiroflexia siempre va a dar los 180°, para demostrar lo establecido se elaboró una grulla de papel con un cuadrado inicialmente de 21x21 cm, cuando ya estaba realizada se desdoblo y marcó los dobleces más importantes.[pic 2]

En donde extraje los datos esenciales obtenidos de un lado de la grulla quedando de la siguiente forma:

Primera parte:

α1+α3+...+α2n-1=180°          

 [pic 3]

[pic 4]

Segunda parte:

α2+α4 +...+α2n=180°

[pic 5]

[pic 6]

     Proceso 3: 

[pic 7][pic 8]

El origami modular consiste en la unión de varias piezas para obtener una más compleja, en este caso para formar el icosaedro primero tuvimos que armar 30 piezas de un origami de  cm  para luego unirlas y así obtener la figura que inicialmente necesitamos.[pic 9]

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