MATRICES.REGULAR Y SINGULAR

Magdalena ,01 de junio de 2013

Matrices

(Semana 14)

PROFESOR:   Melbert Gustavo Gamarra Lezcano

Centro de Estudios Preuniversitarios                                        

Ciclo 2013-II

RESEÑA HISTORICA

El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico de 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. c.

Es larga la historia del uso de matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto chino que proviene del año 300 a. c. a 200 a. c; contiene nueve capítulos sobre el arte de la matemáticas (Jiu Zhang Suanshu), es el primer ejemplo conocido del uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultaneas. En el capitulo séptimo, “Ni mucho ni poco”.

El término matriz fue acuñado en 1848, por JJ Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas.

Es cierto como dice Cayley (1821 – 1895) que la idea de matriz es lógicamente anterior a la de determinante pero históricamente el orden fue el inverso. Cayley fue el primero en desarrollar de modo independiente el concepto de matriz en un articulo publicado en 1855; “A memoir on the theory of matrices”. Definió las matrices nulas y unidad, la suma de matrices y señala que esta operación es asociativa y conmutativa. Cayley toma directamente de la representación del efecto de dos transformaciones sucesivas la definición de multiplicación de dos matrices, Cayley señala que una matriz m x n puede ser multiplicada solamente por una matriz n x p. En este mismo artículo establece que una matriz tiene inversa si y solo sí su determinante no es nulo, además prueba que:

                                [pic 1]

Cayley aseguró que el producto de dos matrices puede ser la matriz nula siendo las dos matrices invertibles. En realidad Cayley se equivocó: Si AB = 0, entonces A o B no tienen inversa. ¿Por qué?

A partir de ese momento los trabajos sobre matrices se disparan, entre ellos Jordan (1838 – 1922), Rouché (1832 – 1910) y  Frobenius (1849 – 1917).

A partir del siglo XX es rara la rama de la matemática aplicada que no use la teoría de matrices. Podemos citar al físico Tait (1831 – 1901) quien a mediados del siglo XIX hizo una afirmación profética: “Cayley esta forjando las armas para las futuras generaciones de físicos”

I. DEFINICION:                                                                                                      Una matriz es el arreglo u ordenamiento rectangular de elementos que podrán ser números reales, números complejos, etc., en filas (horizontal) y columnas (vertical) encerrados entre corchetes o paréntesis.

Representación:  

                        [pic 2]                    Filas[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

        [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

                                      Columnas

Donde [pic 19] representa el  elemento de la fila “i” y la columna “j”.

Notación:

        [pic 20]Donde [pic 21][pic 22][pic 23]

                                Número de columnas                                                                                             Número de filas [pic 24][pic 25]

        [pic 26]        [pic 27]        

Además: m x n representa el tamaño, orden o dimensión de la matriz A.

II. IGUALDAD DE MATRICES:

Dos matrices A y B son iguales, escrito A = B, si tiene la misma forma y sus elementos correspondientes coinciden. Así la igualdad de dos matrices “m x n” equivale a un sistema de “m x n” igualdades, una por cada par de componentes.

Ejemplo:

La igualdad:

                        [pic 28]

                 Es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones

                                [pic 29]

                La solución del sistema es:                        

                x = 2, y = 1, z = 3, w = -1

III. CLASES DE MATRICES

1. Matriz Cuadrada:

Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. En este caso un matriz “n x n” es de orden “n” y se le asigna el nombre de matriz cuadrada.

Ejemplo:                                                                                                                        

                                Diagonal Secundaria                                                [pic 30]                                                                                                            Diagonal Principal[pic 31]

[pic 32][pic 33]

TRAZA DE UNA MATRIZ.- A la suma de elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se le llama traza y se representa: traz(A).

Ejemplo:

        Traz (A) = 9 + 8 + 0 = 17

1. Tipos de matrices cuadradas:

Las matrices cuadradas pueden ser:

1. Matriz Diagonal:

Es aquella matriz cuadrada en la cual al todos los  elementos fuera de la diagonal principal son ceros.

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