Mapaeo Conforme

1. Mapeo Conforme

Método estándar para resolver problemas con valor en la frontera, aplicado en teoría de potencial en dos dimensiones al transformar una región complicada dada en otra más sencilla, así mismo, es útil en el campo de la electrostática, flujo de calor y de fluidos.

Los mapeos conformes son aquellos mapeos que conservan los ángulos, excepto en puntos críticos, y están definidos por funciones analíticas. Un punto crítico ocurre donde la derivada de tal función es cero. Para esto, las transformaciones fraccionarias lineales desempeñan un rol fundamental, y además, en ocasiones es posible usar otras funciones especiales.

Una función compleja

[pic 1]

[pic 2]

De una variable compleja  genera un mapeo de su dominio  en el plano complejo  sobre su rango de valores en el plano complejo . Para cualquier punto  en , el punto  es llamado la imagen de  con respecto a . Más generalmente, para los puntos en la curva  en  los puntos imagen, forman la imagen de Esto se denomina mapeo:[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

.[pic 15]

Si f(z) es analítica, entonces su propiedad más importante de mapeo es su conformidad, que se define como sigue.

Mapeo conforme: Un mapeo  es llamado conforme si conserva los ángulos entre las curvas orientadas tanto en magnitud como en sentido.[pic 16]

C: z(t) = x(t) + iy(t)                (1)

Mapeo conforme mediante funciones analíticas: El mapeo  dado por una función analítica  es conforme, excepto en sus puntos críticos, es decir, en puntos donde su derivada  es cero.[pic 17][pic 18][pic 19]

En la figura 1 se muestra gráficamente la referencia a mapeo conforme:

[pic 20]

Figura 1. Las curvas C1 y C2 y sus imágenes respectivas C1* y C2* bajo mapeo conforme.

Las imágenes C1* y C2* de dos curvas orientadas forman el mismo ángulo α  (0 ≤ α ≤ π) entre las tangentes orientadas en el punto de intersección, que el formado por las curvas C1 y C2, en magnitud y dirección.

Teorema 1 (Mapeo Conforme)

     El mapeo definido por una función analítica f(z) es conforme excepto en puntos críticos, es decir, en puntos donde la derivada de f’(z) es cero.

Demostración. La idea es considerar una curva:

C: z(t) = x(t) + iy(t)

En el dominio de f(z) y demostrar que el mapeo w = f(z) rota la tangente de C en cualquier punto z0 de C (con f’(z) ≠ 0) un ángulo que es independiente de C, de modo que las tangentes de dos curvas C1 y C2 que pasan por z0 (figura 1) son rotadas el mismo ángulo, de manera que las imágenes de estas curvas forman el mismo ángulo en tamaño y dirección que las curvas mismas, lo que, por definición, significa conformidad.

     Se supone que C es una curva suave; es decir, que z(t) en (1) es diferenciable y que la derivada z’(t) = dz/dt es continua y diferente de cero en todas partes. Entonces, se afirma que C tiene una tangente única que rota de manera continua. De hecho, por definición.  

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Figura 2. Formula (2).

     Así, el numerador z1 - z0 representa una cuerda de C, y (z1 - z0) /Δt con Δt positivo tiene la misma dirección. Cuando Δt 🡪 0, el punto z1 tiende a z0 a lo largo de la curva, y

(z1 - z0) /Δt         🡪         z’(t0)

     Por tanto, z’(t0) es tangente a C en z0, y de manera breve se denomina vector tangente de C en z0, y la afirmación está demostrada. A continuación, se analizará la imagen de C* de C bajo w = f(z) (no constante). C* es una curva representada por  

w = f [z(t)]

debido a que z(t) proporciona C y f lo transforma. A z0 = z(t0) en C corresponde el punto w0 = w(t0) en C* y un vector tangente a C* en este punto es w(t0). Así, por la regla de la cadena, se tiene que

[pic 24]

         (3)[pic 25]

     (4)[pic 26]

    Sea f’(z0) ≠ 0. Entonces arg f’(z0) está definido, y al tomar los argumentos en (3) se obtiene por (4).

[pic 27]

     Entonces, el ángulo entre la tangente de C en z0 y la tangente a C* en w0, es decir, el ángulo α que la transformación hace girar la tangente, es

[pic 28]

     Debido a que el miembro de la derecha es independiente de la elección de C (depende sólo de z0), entonces este ángulo es independiente de C; es el mismo para todas las curvas que pasan por z0 y sus imágenes, de modo que dos imágenes C1* y C2* forman el mismo ángulo que forman las curvas originales C1 y C2. Pero por definición eso significa conformidad, con lo que se ha demostrado el teorema.

     2.2 Uso del mapeo conforme

     El mapeo conforme se usa para transformar un dominio complicado dado sobre uno más simple, en donde la solución sea conocida o sea posible de encontrarla más fácilmente. Después, esta solución es mapeada de vuelta al dominio dado. La razón por la cual funciona se debe al hecho de que las funciones armónicas siguen siendo armónicas bajo el mapeo conforme:

Teorema (Funciones armónicas bajo mapeo conforme)

     Si Φ*(u, v) es armónica en un dominio D* en el plano w, y si una función analítica w = u + iv = f(z) mapea un dominio D en el plano z de manera conforme sobre D* entonces

     [pic 29]

es armónica en D

     Demostración. La composición de funciones analíticas es analítica, como se concluye por la regla de la cadena. Asi, al tomar una conjugada armónica Ψ*(u, v) de Φ* y formar la función analítica F*(w) = Φ*(u, v) + iΨ*(u, v), se concluye que F(z) = F*(f(z)) es analítica en D y que su parte real, Φ(x, y) = Re F(z) es armónica en D.

     2.4 Representación por series del potencial en un disco.

     A partir de (5) es posible obtener un importante desarrollo en series de  en términos de funciones armónicas simples. Recordar que el cociente en el integrando de (5) se obtuvo a partir de (3). Se afirma que el miembro derecho de (3) es la parte real de: [pic 30]

...