Matematicas 5

Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.

Una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la función tiene la siguiente forma

F es una función lineal de u y sus derivadas si, reemplazando u con v+w, F puede escribirse F(v) + F(w), y si, reemplazando u con ku, F puede escribirse como

Si F es una función lineal de u y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace.

Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

que tiene la siguiente solución

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función puede determinarse si se especifica sobre la línea .

Definiciones Ecuación Diferencial Parcial, orden y linealidad

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene diferenciales o derivadas de una o más variables.

Ecuaciones Diferenciales Parcial. Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplo:

Una ecuación ordinaria o parcial se puede clasificar según el orden, es decir, de acuerdo a la derivada más alta en la ecuación.

Ejemplos:

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

Otro ejemplo pero en derivadas parciales es el que a continuación se presenta, se trata de una ecuación diferencial parcial de tercer orden

A continuación se abordara otro clasificación, la cual corresponde a la linealidad o no linealidad.

Recordemos que una ecuación se dice lineal si

donde los ai no todos son cero.

En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma

Donde es una función de x no cero.

Se observan dos características en dicha forma: la variable dependiente, en este caso la variable y, junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1; por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente de x.

...