Matematicas

1) Factorización

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Ejemplo nº 1: x3 + x2

x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

Ejemplo nº 2: 9 + 6x + x2

9 + 6X + X2 = (3 + X)2

32 2 . 3 . X X2

La raíz es x = −3

2) Trinomio Cuadrado Perfecto

Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Todo trinomio de la forma:

es un trinomio cuadrado perfecto ya que

Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones presentadas:

• El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.

• Dos de los términos son cuadrados perfectos.

• El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.

• El primer y tercer término deben de tener el mismo signo

• En resumen: Se saca la raíz cuadrada del primer y tercer término

•

Ejemplo nº 1:

Sea:

Ordenando según las normas del álgebra, de mayor a menor grado de , resulta que:

Y podemos darnos cuenta de:

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

Ejemplo nº 2:

Sea:

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia ( ) tenemos:

Evaluando el trinomio vemos que:

Y

Por último vemos que

3) Diferencia de cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos:

a) Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

b) Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo nº 1:

Ejemplo nº 2

4) TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer termino.

En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo termino del trinomio y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio.

Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor del segundo término y cuyo producto sea el valor del tercer término del trinomio.

Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor del segundo término y el producto sea el valor del tercer término del trinomio.

El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio y el menor es el segundo término del segundo binomio.

El signo del primer binomio, es el signo del segundo término del trinomio, el signo del segundo binomio es la multiplicación del signo del segundo y tercer termino del trinomio

Ejemplo nº 1:

x2 + 7x + 10 = (x +5)(x+2)

- El producto de x por x es igual a x2

- El producto de 5 por 2 es igual a 10 que es el tercer termino

- La suma de 5 mas 2 es igual a 7 que es el segundo termino

Ejemplo nº 2:

x2+ 4x - 21 = (x + 7)(x - 3)

5) Suma, resta, multiplicación y división de polinomios.

A) Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

- Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

- Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3x2 + 5x + 4x – 3

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