Matematicas

Nociones sobre conjuntos.

Aunque no hemos definido que es lo que es un conjunto, en la seccio´n anterior hemos visto

algunos conjuntos de nu´meros: los naturales, enteros, racionales y reales. Lo que los caracteriza

como un conjunto es que agrupan objetos de la misma naturaleza. En todos los casos tenemos una

colecci´ondeobjetosquesevencomountodo.Estascoleccionessellamanconjuntosylosobjetos

son los elementos del conjunto. Se considera que dos conjuntos son iguales si cada elemento de uno es

un elemento del otro. So´lo hay un conjunto que no tiene elementos: el conjunto vac´ıo, que se denota por ∅. La manera ma´s sencilla de definir un conjunto es dar una lista de sus elementos entre dos llaves.

Sin embargo, este tipo de definicio´n s´olo es posible para conjuntos finitos y algunos conjuntos son

infinitos. En este caso, una forma de definir el conjunto es caracterizar a sus elementos, como hemos

hecho con los conjuntos de nu´meros de la secci´on anterior. Para caracterizar los elementos de un

conjunto tenemos que determinar qu´e tipo de elementos son y cua´les son sus propiedades.

Por ejemplo, para definir el intervalo de nu´meros reales comprendidos entre dos n´umeros a y b

(con a<b) distinguimos dos casos:

Intervalo abierto de extremos a y b:(a,b)={x ∈ R/a < x < b} Intervalo cerrado de extremos a y b:[a,b]={x ∈ R/a ≤ x ≤ b} En ambas definiciones se usan las llaves {}para designar al conjunto, que se define en dos partes. A la izquierda de la barra se designa un elemento t´ıpico del conjunto (la barra / se lee tal que ya veces se sustituye por dos puntos). En nuestro caso, el s´ımbolo ∈, que se leepertenece, nos indica que un elemento del conjunto, x, pertenece al conjunto de los nu´meros reales, R. A la derecha de la

barra se especifica la propiedad (o propiedades) que cumplen los elementos del conjunto. En ambos

casos, nos indican que los elementos del conjunto esta´n entre a y b. En el primer caso no se incluyen

los extremos y en el segundo s´ı.

Otro concepto importante dentro de la teor´ıa de conjuntos es el de subconjunto. De forma que un

conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son tambi´en elementos de B. Se escribeA ⊆ B y se leeA est´acontenido en B. Si son conjuntos distintos decimos que A es un subconjunto propio de B.

APUNTES DE MATEM´ATICAS I 5

Las operaciones ba´sicas entre conjuntos son uni´on, intersecci´on y diferencia de conjuntos:

A uni´on B son los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos:

A∪B = {x/x ∈ A ´o x ∈ B}

A interseccio´n B son los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:

A∩B ={x/x ∈ A y x ∈ B}

A menos B son los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B:

A\B = {x/x ∈ A y x ∈/B }

Obs´ervesequeenlau´ltimadefinici´on hemos utilizado el s´ımbolo ∈ / , que indica que un elemento no pertenece al conjunto y se lee x no pertenece a B.

Nociones sobre lo´gica.

Hay afirmaciones que son ciertas o falsas, a las que llamanos enunciados o proposiciones. Sin

embargo, cuando una afirmacio´n incluye variables no siempre se puede afirmar que sea cierta o falsa.

Por ejemplo, la expresio´n x>1 no es ni verdadera ni falsa, y no lo sera´ hasta que no reemplacemos a

la variable x por algu´n n´umero. Este tipo de expresiones reciben el nombre de proposiciones abiertas

y es posible darles un valor de verdad si se utilizan cuantificadores.

Un cuantificador es una expresio´n que afirma que una condici´on se cumple

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