Matemática

FACTOREO

Si la expresión es: Puede ser: Resolución

Binomio: 6a2+8ab 1. Factor común 6a2+8ab = 2a(3a+4b)

4a6-b2 2. Diferencia de cuadrados 4a6-b2=(2a3+b)(2a3-b)

8a3+27b3 3. Suma de cubos 8a3+27b3=(2a+3b)(4a2-6ab+9b2)

8a3-27b3 4. Diferencia de cubos 8a3-27b3=(2a-3b)(4a2+6ab+9b2)

a5+b5 5. Suma de potencias iguales a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

32a5-243b5 6. Diferencia de potencias iguales 32a5-243b5=25a5-35b5=(2a-3b)[ 24a4+(23a3 )(3b)+(22a2 )(32b2 )+(2a)(33 b3 )+ 34b4) ]

Trinomio: a3+a2b - a3c3 1. Factor común a3+a2b-a3c3=a2(a+b+ac3)

a2+2ab+b2 2. Trinomio cuadrado perfecto a2+2ab+b2=(a+b)2

x2+7x-182 3. Trinomio simple o de la forma x2+bx+c x2+7x-182=(x+9)(x-2)

3x2-4x+7 4. Trinomio compuesto o de la forma ax2+bx+c 21

3x2-4x+7=(3x+7)(3x-3) = (3x+7)(x-1)

3

4a4+a2b2+25b4 5. Trinomio por suma y resta 4a4+a2b2+25b4=4a4+a2b2+25b4

+9a2b2 - 9a2b2

= 4a4+10a2b2+25b4- 9a2b2

= (4a4+10a2b2+25b4)- 9a2b2

= 4a4+10a2b2+25b4- 9a2b2

= (2a2+5b2)- 9a2b2

= [(2a2+5b2)+3ab] [(2a2+5b2)-3ab]

= [2a2+5b2+3ab] [2a2+5b2-3ab]

= (2a2+3ab+5b2)(2a2-3ab+5b2)

Polinomio:

(más de 3 términos)

a4b+a3b - a2bc3+abc 1. Factor común a4b+a3b - a2bc3+abc=ab(a3+ a2 -ac3+c)

a2+ab+ax+bx 2. Factor común por agrupación de términos a2+ab+ax+bx=(a2+ab)+(ax+bx)

=a(a+b)+x(a+b)

=(a+b)(a+x)

4a4+20a2b2+25b4- 9a2b2 3. Combinación de Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados 4a4+20a2b2+25b4- 9a2b2= (4a4+20a2b2+25b4)- 9a2b2

= (2a2+5b2)2- 9a2b2

=[(2a2+5b2)+3ab] [(2a2+5b2)-3ab]

= [2a2+5b2+3ab] [2a2+5b2-3ab]

= (2a2+3ab+5b2)(2a2-3ab+5b2)

x3-3x2y+3xy2-y3 4. Cubo perfecto de binomios x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3

x3 + 2x2 - x - 2

5. Evaluación x3 + 2x2 - x – 2 =

1 2 -1 -2 1 x = 1

1 3 2

1 3 2 0

x3 + 2x2 - x – 2 = (x – 1)(x2+3x+2)

= (x – 1) (x + 2)(x + 1)R

PAUTAS PARA FACTORAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

1. Factor común Ejemplo: 6a3+8a2b+10ac

1.- Se extrae el factor común de los coeficientes numéricos, extrayendo el mcd.

2.- Se añade el factor común de los términos literales, (las letras que se repitan con el menor exponente).

3.- Se abre paréntesis y se coloca el resultado de dividir el 1er término de la fracción inicial para el factor común.

4.- Se añade el signo del 2do término.

5.- Se añade el resultado de dividir el 2do término de la fracción inicial para el factor común y así sucesivamente, según tantos términos tenga la expresión a factorarse y se cierra el paréntesis. =2

=2a

=2a(3a2

=2a(3a2+

=2a(3a2+2ab+5c) R

2. Agrupación de términos Ejemplo: ax-2bx-2ay+4by

1.- Se agrupa los términos en 2 paréntesis de manera que en los términos de cada paréntesis haya un factor común.

2.-Se extrae el factor común del 1er paréntesis, siguiendo las reglas del caso anterior.

3.- Se añade dentro de un paréntesis los términos del 1er paréntesis divididos para el factor común

4.- Se coloca el signo del 2do paréntesis y se añade el factor común de los términos de éste.

5.- Se añade dentro de un paréntesis los términos del 2do paréntesis divididos para el factor común de éstos.

6.- Se escribe el paréntesis que es común en los dos términos, (debe serlo siempre).

7.- Se añade dentro de un paréntesis los términos libres restantes con su respectivo signo. =(ax-2ay)-(2bx-4by)

=a

=a(x-2y)

=a(x-2y)-2b

=a(x-2y)-2b(x-2y)

=(x-2y)

=(x-2y)(a-2b) R

3. Trinomio cuadrado perfecto Ejemplo: 36n4+16m2-48m4

1.- Se ordena el trinomio y se verifica si el trinomio es cuadrado perfecto

2.- Un trinomio es cuadrado perfecto cuando:

 el 1er y 3er término son cuadrados perfectos, (es decir son positivos y tienen raíz cuadrada exacta).

 El 2do término es el doble producto de estas raíces (no importa el signo).

3.- Se extraen la raíz cuadrada al 1er y 3er términos del trinomio y se separa con el signo del 2do y se eleva todo al cuadrado. =16m2-48mn+36n2

4m 6n

2(4m)(6n)= 48mn

= (4m-6n)2 R

4. Diferencia de cuadrados Ejemplo: 9a4-25b2

1.- Se verifica que los términos sean cuadrados perfectos (es decir que sean positivos y tengan raíz cuadrada exacta).

2.- Se separa estas raíces por el signo + y se coloca dentro de un paréntesis.

3.- Se multiplica por la diferencia de estas raíces. 3a2 , 5b

=(3a2 + 5b)

=(3a2 + 5b)( 3a2 - 5b) R

5. Trinomio cuadrado incompleto Ejemplo: 4n4+11m2n2 +25m4

1.- Se ordena el trinomio y se verifica si el 1er y 3er término son cuadrados perfectos.

2.- Sumamos la cantidad que falta al segundo término para hacerlo trinomio cuadrado perfecto y al final la restamos.

3.- Agrupamos el trinomio cuadrado perfecto.

4.- Factoramos el trinomio cuadrado perfecto.

5.- Factoramos la diferencia de cuadrados, utilizando corchetes.

6.- Eliminamos corchetes.

7.- Ordenamos los trinomios. =25m4+11m2n2+4n4

(5m 2n)

+9m2n2+4n4 - 9m2n2

= 25m4+20m2n2+4n4 - 9m2n2

= (25m4+20m2n2+4n4) - 9m2n2

= (5m2+2n2) 2 - 9m2n2

= [(5m2+2n2)+3mn ] [(5m2+2n2) -3mn]

= (5m2+2n2+3mn ) (5m2+2n2 -3mn)

= (5m2+3mn+2n2 ) (5m2 -3mn+2n2) R

6. Trinomio simple o de la forma x2+px+q (por aspas) Ejemplo: a2+3ab-40b2

1.- Se ordena el trinomio.

2.- El primer término se divide en 2 factores,

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