Matemáticas. Dominio, Curvas y Superficies de Nivel

Taller 3

Diana Isabel ORDON˜EZ TRIANA        ID: 728792

Duvan Ricardo ORTIZ LOAIZA                ID: 725562 Walter David TORRES        ID:315819

Abril 2021

Primera Parte: Dominio, Curvas y Superficies de Nivel

1. Para las siguientes funciones halle y dibuje la regi´on en el plano xy cor- respondiente al dominio:[pic 1]

• f (x) = √2x2 + y2 − 4

2x2 + y2 − 4 ≥ 0 =⇒ 2x2 + y2 ≥ −4 =⇒ 2x   + y ≥ 4[pic 2]

[pic 3]        [pic 4]        [pic 5]

4        4        4

x2  + y2  ≥ 1 =⇒  √x2        + y2  ≥ 1        Elipse[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

2        4        (  2)2        22

2

+ y   ≥ 1}[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

• f (x, y) = 2  12        + In(2 − y − x2)

[pic 15]

x −y +1

x2 − y2 + 1 = 0 −→ x2 − y2 = −1 −→ y2 − x2− < 1   Hip´erbola 2 − y − x2 > 0 −→ −y − x2 > 2 −→ x2 + y < 2         Par´abola Domf (x, y) : {(x, y) ∈ R2/y2 − x2 ƒ= 1 ∧ x2 − y < 2}

[pic 16]

y = −x2 + 2

si        x2 = y2 − 1

y = −(y2 − 1) + 2

y = −y2 + 3

y2 + y − 3 = 0

• f (x, y) = sin − 1[In(xy)]

xy > 0, −1 ≤ In(x, y) ≤ 1

Dom f (x, y) : {(x, y) ∈ R2/xy > 0        ∧        −1In(xy) ≤ 1}[pic 17]

1. Describa y dibuje las curvas (superficies) de nivel de las siguientes funciones para los valores de c dados:

• f (x, y) = ln(x2 + y2) Para c = −1, 0, 1

f (x, y) = c −→ curva de nivel

f (x, y) = −1 −→ In(x2 + y2) = −1 −→ x2 + y2 = e−1 f (x, y) = 0 −→ In(x2 + y2) = 0 −→ x2 + y2 = 1

f (x, y) = 1 −→ In(x2 + y2) = 1 −→ x2 + y2 = e

circunsferencia        con        centro   en   el  origen.

[pic 18]

• f (x, y) = cos(x + y) para c = 0, ± 1 , ±1[pic 19][pic 20]

f (x, y) = c −→ curva de nivel

f (x, y) = cos(x + y) = 0 −→ x + y = Π[pic 21][pic 22]

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