Media aritmética de datos agrupados

1.3

Medidas de tendencia central

La población humana que se concentra en una superficie de terreno puede representarse por un número tal como una media aritmética o promedio. La ventaja de números como éstos, a los que se les llama medidas de tendencia central, es que pueden utilizarse para efectuar comparaciones cuantitativas. Un promedio es un número que se calcula para representar el centro de un conjunto de datos numéricos.

El estado de Chihuahua tenía en el año 2000 aproximadamente 3 millones de habitantes, mientras que el Distrito Federal, 8.5 millones. Sin embargo, la extensión territorial de Chihuahua es de 247 087 km2, mientras que la del Distrito federal es de 1500 km2. Para tener una idea acerca de la diferencia en la densidad de la población en cada caso, se pueden comparar los promedios de habitantes por km2.

Tabla 1.28 Densidad de población en Chihuahua y el DF en el año 2000

ENTIDAD TERRITORIO (KM2) HABITANTES AÑO 2000 (MILLONES) PROMEDIO DE HABITANTES POR KM2

Chihuahua 247 087 3 12

Distrito Federal 1 500 8.5 5 667

El promedio de habitantes por km2 en cada una de estas entidades describe claramente la diferencia de concentración de población de ambas.

Un conjunto de datos numéricos puede describirse por medio de varias cantidades que permiten comprender mejor sus características. Con ello se complementa la descripción tabular o gráfica.

1.3.1 Promedios

Si se tiene un grupo de datos numéricos ordenados o tabulados, es razonable representarlos por un número que esté en su “centro” para elaborar descripciones y obtener conclusiones generales utilizando ese número. A estos números se les llama medidas de centro o promedios. El cálculo de un promedio se hace mediante una ecuación, dependiendo de la definición que se adopte de centro. Los promedios más comunes e importantes son tres, los cuales se definen en el esquema de la figura 1.26.

Figura 1.26 Promedios

El promedio más ampliamente usado es la media aritmética. Posee propiedades insuperables de muestreo y por tanto para realizar inferencias. Sin embargo, no siempre es recomendable usarla, pues la mediana puede utilizarse con mayor propiedad que la media aritmética para representar datos cuando la distribución de frecuencias tiene un sesgo pronunciado. La propiedad más importante de la moda es que nos informa sobre los datos más frecuentes. La representación de un grupo de datos estadísticos por una medida de tendencia central puede hacerse por el mismo motivo por el que dos montones de naranjas se representan por su cantidad: para compararse. Veamos con mayor detalle el significado de estas medidas de tendencia central.

MEDIA ARITMÉTICA

Una razón del uso tan amplio de la media aritmética es que su cálculo es muy sencillo. Pero son sus cualidades matemáticas y estadísticas las que la convierten en el promedio más adecuado para la estimación o inferencia de parámetros a partir de una muestra.

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La media aritmética de un conjunto de n datos de una muestra se representa por el símbolo ; se obtiene sumando los valores de la muestra, x1 + x2 + ... + xn, y dividiendo esta suma entre n, el total de observaciones en la muestra. Esto es,

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Para los datos de una población, la media aritmética se define así:

donde N representa el número total de datos en la población.

El signo se usa para el estadístico media aritmética de las muestras; xi es una representación del valor numérico que asume el i – ésimo dato en la muestra o en la población. La letra griega  (mu) se usa para el parámetro media aritmética de la población.

La media aritmética es el punto de equilibrio de los datos: su posición corresponde al punto donde la masa de datos se reparte por igual. Analiza el ejemplo 1.45.

Ejemplo 1.45

Supongamos que estudiamos el conjunto de observaciones 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 24. La media aritmética es 4.5:

Si colocamos figurativamente sobre una barra numérica los valores, como se muestra en la figura 1.27, el 4,5 es el punto de equilibrio de las masas de números a sus lados. La media aritmética es una medida de posición del centro de los datos.

Figura 1.27 La media aritmética es un punto de equilibrio de las masas de números a sus lados

Una analogía para la media aritmética es la siguiente. Si se corta un polígono regular de cartón, su centro estará en el punto donde se intersequen las mediatrices de dos cualesquiera de sus lados. Si se coloca en ese punto un alfiler, el polígono guardará equilibrio. Ese punto corresponde a lo que se llama centro de masa del polígono, y a lo que para un conjunto de mediciones es su media aritmética.

Figura 1.28 Centro de polígonos regulares

Así, la media aritmética es el valor de la posición del centro de un conjunto de datos.

Dada esta característica de la media aritmética de un conjunto de datos como centro de todos los datos, se cumple la propiedad mostrada en el ejemplo 1.46.

Ejemplo 1.46

Se observan las edades en años de 6 voluntarios en la Cruz Roja en Poza Rica: 19, 23, 23, 25, 35, 43. La media aritmética es

¿qué sucede si se calcula la suma de cada resta posible ? Observemos.

(19 – 28) + (23 – 28) + (23 – 28) + (25 – 28) + (35 – 28) + (43 – 28) = - 9 – 5 – 5 – 3 + 7 + 15 = 0

Otra propiedad de la media aritmética es que su valor es afectado por valores extremos. Esto se muestra en el ejemplo 1.47.

Ejemplo 1.47

La media aritmética de los datos 1, 2, 3, 4, 1000, es

=

Este valor está lejos de los números “parecidos” 1, 2, 3, 4, que son más, porque es “jalado” por el número 1000, muy grande respecto a los demás.

Es muy común utilizar la media de aritmética de un conjunto de datos para compararla con la media aritmética de otro conjunto de datos, cuando es posible hacer esto. Enseguida se da un ejemplo de una aplicación de este tipo.

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