Minimos Cuadrados

¿QUÉ ES EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS?

Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal y = ax + b donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar. El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1, y1),.... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta.

¿CÓMO SE DETERMINA?

Se calcula la media de los valores de x y la media de los valores de y. Después se realiza la suma de los cuadrados de los valores de x. Posteriormente se hace la suma de cada valor de x multiplicado por su valor correspondiente y.

Se calcula la pendiente de la recta usando la fórmula:

donde n es el número total de puntos de los datos.

Se calcula la intercepción en y de la recta usando la fórmula:

donde son las medias de las coordenadas de x y y de los puntos de datos respectivamente. Se usa la pendiente y la intercepción en y para formar la ecuación de la recta.

Ejemplo Mínimos cuadrados

De acuerdo a la información mostrada a continuación, determina ¿cuáles serán los costos en una jornada de trabajo de 40 horas?

MES COSTO (Y) HORAS (X)

ENERO 400 10.00

FEBRERO 500 12.50

MARZO 500 17.50

ABRIL 600 20.00

MAYO 1,500 50.00

JUNIO 900 30.00

TOTAL 4,400 140.00

SOLUCIÓN

MES COSTO (Y) HORAS (X) (X)(Y) X2

ENERO 400 10.00 4000 100

FEBRERO 500 12.50 6250 156

MARZO 500 17.50 8750 306

ABRIL 600 20.00 12000 400

MAYO 1,500 50.00 75000 2,500

JUNIO 900 30.00 27000 900

TOTAL 4,400 140.00 133,000 4,363

Y = a + bx

Y = 87.75 + 27.67(x)

Con esta ecuación de mínimo cuadrado se pueden predecir los costos totales aproximados de acuerdo a las horas laboradas.

Y = 87.75 + 27.67(40)

Y = 87.75 + 1106.8

Y = $1,194.55

Ejemplo 2:

Use el método de mínimos cuadrados para determinar la ecuación de la recta que mejor se ajusta para los datos. Luego grafique la recta.

Solución:

Grafique los puntos en un plano coordenado.

Calcule las medias de los valores

...