Minimos Cuadrados

Métodos de regresión y correlación

Las técnicas de regresión y correlación cuantifican la asociación estadística entre dos o más variables. La regresión lineal simple expresa la relación entre una variable dependiente Y y una variable independiente X, en términos de la pendiente y la intersección de la línea que mejor se ajuste a las variables.

La correlación simple expresa el grado o la cercanía de la relación entre las dos variables en términos de un coeficiente de correlación que proporciona una medida indirecta de la variabilidad de los puntos alrededor de la mejor línea de ajuste- Ni la regresión ni la correlación dan pruebas de relaciones causa – efecto.

Regresión: El modelo de regresión lineal simple toma la forma

Y = a + bx,

donde

y = variable dependiente

x = variable independiente.

Los valores de la pendiente b y la intersección a se obtienen usando las ecuaciones normales escritas en la forma conveniente.

Desviación estándar de la regresión

Una línea de regresión describe la relación entre un valor dado de la variable independiente X y la media µy.x de la distribución de probabilidad correspondiente de la variable dependiente Y. El punto estimado, o pronóstico, es la media de la distribución para un valor dado X.

La desviación estándar de la regresión S y.x es una medida de la dispersión de los datos alrededor de la línea de regresión.

Estimación de intervalo

Se puede establecer una predicción de intervalo para un valor pronosticado individual de YC usando la expresión:

Intervalo de predicción = YC ± t SIND

Donde t = valor de la tabla de la distribución t para el nivel de confianza especificado, y

Para muestras grandes (n≥100), la ecuación anterior puede ser aproximada. Usando la distribución normal (Z) más que la , en la forma de YC ± ZSY.X También la significancia de la pendiente de la línea de regresión (b) puede ser probada usando la siguiente expresión.

donde

Si el valor de tcalc de la tabla t, la relación entre X y Y es estadísticamente significativa.

Correlación

El coeficiente de correlación lineal simple r es un número entre -1 y 1 que indica qué tan bien describe la ecuación lineal la relación entre las dos variables. Como se muestra en la siguiente figura, r se designa como positiva si Y se incrementa cuando lo hace X, y negativa si Y decrece al incrementarse X. Una r de cero indica una ausencia de relación entre las dos variables.

La desviación de todos los puntos (Y) de la línea de regresión (Yc) consiste en la desviación contabilizada por la línea de regresión (explicada) y la variación aleatoria (no explicada).

Variación total = explicada + no explicada

El coeficiente de determinación r2 es la razón de la variación explicada a la variación total:

El coeficiente de correlación r es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación:

Cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande (v.g., mayor de 50); el valor de r puede ser calculado más directamente con base en:

La significancia de cualesquier valor de r puede probarse estadísticamente con una hipótesis para mostrar que no existe correlación. Para probarlo, el valor de r es comparado con un valor de tablas para un tamaño de muestra y un nivel de significancia dados.

Ejemplo

El gerente general de una planta de producción de materiales de construcción

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