Métodos Numéricos

JOSÉ JEREMÍAS CABALLERO CANTU                                                      Métodos Numéricos 2022-1

Método de Newton Raphson:

1. Historia.

Este método numérico de Newton se describió por Sir Isaac Newton y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum. En cambio, esta descripción varía sustancialmente en su descripción moderna por su limitación a los polinomios sin tomar en cuenta las aproximaciones sucesivas [pic 1]omitiendo algún vínculo con el cálculo. Obtiene ese nombre debido al matemático inglés Joseph Raphson que publicó un libro para la aproximación de raíces.

1. Teoría.

Como se trata de un procedimiento algorítmico para la solución de raíces de funciones, suponiendo tener una aproximación a la raíz. Presenta iteraciones y es abierto con una rápida convergencia.

Según el teorema de Taylor para un [pic 2]tal que [pic 3]así como se verifica que la función y su derivada son continuas en el intervalo [pic 4]entonces:

[pic 5]

Se busca el punto para que [pic 6]        por consiguiente:                

[pic 7]

Por lo tanto se concluye:

[pic 8]

Aplicando una forma general para [pic 9]iteraciones (despejamos [pic 10]):

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

1. Análisis geométrico del método.

[pic 15]

1. Para su iteración con el método de Newton se considera la línea azul como la función, y la línea roja como una recta tangente donde mediante cada iteración se puede mejorar una aproximación en [pic 16] que [pic 17]según su raíz de la función.

La recta tangente celeste a la curva [pic 18]en el punto [pic 19]se define como [pic 20].

1. Con esta recta tangente que intercepta al eje [pic 21] en el punto [pic 22]entonces se tiene

[pic 23]

1. Del paso b) al despejar la variable [pic 24]se obtiene

[pic 25]

1. De la misma forma se procede con la ecuación de la recta tangente (roja) a la curva [pic 26]en el punto [pic 27]se define de la siguiente manera [pic 28]
2. Como esta recta tangente intercepta al eje [pic 29] en el punto[pic 30] se tiene

[pic 31][pic 32]

1. Del paso e) al despejar [pic 33] se tiene

[pic 34]

1. Aplicación del método Newton-Raphson.

1. Extraer datos:

Por dato tenemos la función [pic 35]

La aproximación inicial [pic 36]o un intervalo del que se obtendrá la aproximación inicial.

El criterio de pare tol.

1. Aplicar método:

En caso de que nos den el intervalo [pic 37] se halla [pic 38]de la siguiente manera

[pic 39]

Sino se resuelve con el [pic 40]dado para empezar con las [pic 41]iteraciones.

Para [pic 42]

...