Métodos numéricos

[pic 1]

[pic 2]

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b]. Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual tamaño

[pic 3]

Para estimar la energía total disipada en el circuito usando los métodos del trapecio y de Simpson, primero definimos la integral de la potencia P(t) sobre el tiempo t

[pic 4]

 METODO DEL TRAPECIO

Aplicando el método del trapecio, debido a la forma de nuestra función el valor aproximado lo podemos estimar:

[pic 5]

[pic 6]

Donde ∆x= h, para obtener la energía disipada por el método del trapecio tenemos.

[pic 7]

Según la tabla tenemos que para un tiempo ( DONDE P = POTENCIA)

t0 la  P es 0.

t1 la  P es 1.8.

t2 la  P es 2,0.

t3 la  P es 4.0.

t4 la P  es 4,7.

t5 la P es 6,0.

tT6 la P es 4,0.

t7 la P es  3,4.

t8 la P es   3,6.

T9  la P es 2,8.

t10 = tn la P  es 0,0.

Remplazando en la ecuación E tenemos:

[pic 8]

Sacando factor común 2 y sumando

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

METODO DE SIMPSON

[pic 15]

con fi = f(xi) y ∆x = h. Dado como se construye la regla de Simpson, es necesario que la partición de [a, b] tenga un numero par de subintervalos.

Escrito de otra forma tenemos

[pic 16]

Determinando los índices impares y los índices pares tenemos:

Según la tabla tenemos que para un tiempo ( DONDE P = POTENCIA)

t0 la  P es 0.

t1 la  P es 1.8. IMPAR

t2 la  P es 2,0. PAR

t3 la  P es 4.0. IMPAR

t4 la P  es 4,7. PAR

t5 la P es 6,0. IMPAR

tT6 la P es 4,0. PAR

t7 la P es  3,4. IMPAR

t8 la P es   3,6. PAR

T9  la P es 2,8.  IMPA

t10 = tn la P  es 0,0.

Remplazando en la ecuación que nos da la aproximación por el método del trapecio.

[pic 17]

Remplazando valores numéricos tenemos:

[pic 18]

1006 mJ[pic 19]

La diferencia en los resultados se debe a la distinta aproximación de cada método. El método de Simpson generalmente ofrece una mayor precisión en función de cómo maneja la curvatura de los datos, lo que justifica las ligeras discrepancias observadas entre los dos métodos.

[pic 20]

La fórmula de Weddle es una regla de cuadratura que se utiliza para integrar una función dividida en seis subintervalos iguales. La fórmula es:

[pic 21]

Desarrollamos f (x) en torno a x = a usando la serie de Taylor. Para cada punto xi = a + ih, tenemos:

[pic 22]

Desarrollamos para cada fi :

[pic 23]

Sustituimos los desarrollos de Taylor en la fórmula de Weddle:

[pic 24]

Sumamos y agrupamos los términos de los diferentes órdenes en :

 Término constante f(a):

[pic 25]

Término en h(hf´(a):

[pic 26]

Término en h^2(h^2f´´(a):

[pic 27]

Calculamos la suma:  

[pic 28]

[pic 29]

La fórmula de Weddle es exacta para polinomios de grado hasta 7, por lo que el término de error vendrá del término de octavo orden:

[pic 30] 

Para encontrar C, integramos un polinomio de grado 8 usando la fórmula de Weddle y calculamos el error exacto. Al hacerlo, encontramos que:

[pic 31]

Por lo tanto, el error en la fórmula de Weddle es:   [pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Si dividimos el intervalo [a, b] en 9 subintervalos (lo que nos da 10 puntos), podemos aplicar la regla de Simpson de tres octavos en cada grupo de 3 subintervalos (4 puntos). Consideremos los puntos x0, x1, x2, … , x10 correspondientes a la división del intervalo [a, b]. Podemos aplicar la regla de Simpson de tres octavos en cada conjunto de cuatro puntos consecutivos.

Cada grupo de cuatro puntos será:

1.   x0, x1, x2, x3

2.   x3, x4, x5, x6

3.   x6, x7, x8, x9

Aplicamos la fórmula en cada uno de estos grupos:

1.        Para el primer grupo [x0, x1, x2, x3]:

[pic 35]

2.        Para el segundo grupo [x3, x4, x5, x6]:

[pic 36]

3.        Para el tercer grupo [x6, x7, x8, x9]:

[pic 37]

Suma Total de las Aproximaciones

[pic 38]

Expresión del Error

El error en cada aplicación de la regla de Simpson de tres octavos es:

[pic 39]

Donde el es algún punto en el i-ésimo subintervalo. Para m grupos de cuatro puntos, el error total es aproximadamente:

 [pic 40]

Como hay m subíndices y h = b-a/n

[pic 41]

Simplificando:

[pic 42]

En resumen, se debe tener cuidado al elegir el número de puntos para que n sea múltiplo de 3, permitiendo así la aplicación correcta de la regla de Simpson de tres octavos compuesta. Esto asegura que se puede dividir el intervalo [a, b] en grupos de cuatro puntos cada uno, calculando así la integral aproximada y el error correspondiente.

[pic 43]

En este caso, hay 7 puntos, lo que implica que hay 6 subintervalos. Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b]. Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual tamaño, en este caso tenemos que n=6 subintervalos, con  𝑎= 0.5, 𝑏=3.5

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