METODOS NUMERICOS

Capitulo 7

7.1 Introduccion:

Los esfuerzos normales y cortantes en vigas, ejes y barras se pueden calcular con las fórmulas básicas analizadas en los capítulos anteriores. Por ejemplo, los esfuerzos en una viga están dados por la fórmula de la flexión y las fórmulas del cortante y los esfuerzos en un eje por la fórmula de la torsión .

En el caso del cortante puro, determinamos que los esfuerzos máximos de tensión y compresión ocurren sobre planos a 45°. De una manera análoga, los esfuerzos sobre secciones inclinadas cortadas a través de una viga pueden ser mayores que los que actúan sobre una sección transversal. Para calcular esos esfuerzos necesitamos determinar los que actúan sobre planos inclinados conforme a un estado de esfuerzo más general conocido como esfuerzo plano .
En nuestro análisis de esfuerzo plano utilizaremos los elementos de esfuerzo para representar el estado de esfuerzo en un punto en un cuerpo. Los elementos de esfuerzo se analizaron con anterioridad en un contexto especializado, pero ahora los emplearemos de una manera más formalizada. 

Al trabajar con elementos de esfuerzo siempre debemos tener en cuenta que sólo existe un estado de esfuerzo intrínseco en un punto en un cuerpo sometido a esfuerzos, sin importar la orientación del elemento que se emplee para representar dicho estado de esfuerzo. Cuando se tienen dos elementos con orientaciones distintas en el mismo punto en un cuerpo, los esfuerzos que actúan sobre las caras de los dos elementos son diferentes, pero aún representan el mismo estado de esfuerzo, a saber, el esfuerzo en el punto en consideración.

Si bien las flechas empleadas para representar esfuerzos tienen magnitud y sentido, no son vectores debido a que no se combinan de acuerdo con la ley de la adición del paralelogramo. Más bien, los esfuerzos son cantidades mucho más complejas que los vectores y en matemáticas se denominan tensores. 

7.2 Esfuerzo Plano

Para explicarlo consideraremos el elemento de esfuerzo que se muestra en la figura 7.1a. Este elemento tiene tamaño infinitesimal y se puede dibujar como un cubo o bien como un paralelepípedo rectangular. Los ejes xyz son paralelos a los bordes del elemento y sus caras se designan según las direcciones de sus normales hacia fuera, como se explicó en la sección 1.6. Por ejemplo, a la cara derecha del elemento se le refiere como la cara x positiva y la cara izquierda cara x negativa.
Cuando el material está en esfuerzo plano en el plano xy, sólo las caras x y y del elemento están sometidas a esfuerzos y todos actúan paralelos a los ejes x y y, como se muestra en la figura 7.1a. Esta condición de esfuerzo es muy común debido a que está presente en la superficie de cualquier cuerpo sometido a esfuerzo, excepto en los puntos donde actúa la carga externa sobre la superficie. Cuando el elemento que se muestra en la figura 7.1a está ubicado en la superficie libre de un cuerpo, el eje z es normal a la superficie y la cara z está en el plano de la superficie. Como el elemento tiene un tamaño infinitesimal, los esfuerzos normales que actúan sobre las caras opuestas son iguales.

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