NOTAS DE CLASE DE CALCULO III GRUPO: A3

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

NOTAS DE CLASE DE CALCULO III GRUPO: A3

DIEGO FELIPE RODRIGUEZ VESGA

Codigo:2161646

Docente: DUWAMG ALEXIS PRADA MARIN

2017-1

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INTRODUCCION

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El calculo multivariable es la rama de las matematicas que nos ayuda a hacer una proyeccipn del

Calculo Diferencial e Integral de funciones de una variable al estudio de funciones de varias variables.

En esencia, se dedica al estudio de varias variables de modo simultaneo. Es decir, tomando un objeto y no solo medimos un aspecto suyo sino que considera varios aspectos y se trata de determinar la relacion entre estas medidas. Para representar gra camente una funcion de varias variables debemos tener en cuenta que nuestra capacidad de representacion gra ca esta limitada a las tres

dimensiones del espacio. Por ello la mayor a de ejemplosy casos practicos que contemplamos seran de funciones f : R2aR^.

El plano XY se correspondera con el conjunto inicial de la funcion, y el eje Z para representar el valor real de la funcion. Los puntos del plano XY donde la funcion sea evaluable se corresponderan con el dominio de f(x, y), y el eje Z para representar la imagen de f(x, y). Es por esto que podemos

con con anza decir que el Calculo Multivariable, no es mas que otra cosa que el Calculo Diferencial e Integral aplicado ya no solo a curvas planas en un plano cartesiano, sino el trabajo con niveles que son las super cies descritas por las funciones de varias variables y representadas en espacios de tres dimensiones.

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CHAPTER 1

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FUNCIONES EN Rn

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1.1        FUNCIONES

De nicion 1.1.1. Una funcion de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de

numeros reales (x, y) de un conjunto D un numero real unico que se denota con f(x, y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de los valores que toma f, es decir f(x; y)j(x; y) 2 D.

Se escribe como z = f(x, y) para hacer expl cito el valor que toma f en el punto (x, y), Las variables x y y son variables independientes y z es la variable dependiente.

El conjunto D es el dominio de f. Este viene determinado por el contexto del problema y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la formula que de ne la funcion.

Ejemplo 1.1.1. Si se de ne la funcion:

f(x; y) = 12xy

su Dominio es el conjunto de todos los pares (x, y) de numeros reales. O sea, Domf = R.

Sin embargo si se quiere que esta funcion represente el rea de un triangulo, los valores de x e y tienen que ser positivos. Luego, esta restriccion debe indicarse junto a la formula

f(x; y) = 12xy; x > 0; y > 0

Si no se indica ninguna restriccion se debe suponer que el Dominio es el maximo permitido por la

formula. El conocimiento del Dominio permite saber que valores pueden sustitu rse en la formula y cuales no.

1.1.1        Gra cas

La gra ca de una funcion de dos variables z es igual a f(x, y), es La representacion 3D a partir de unos ejes cartesianos XYZ de todas las combinaciones posibles valores (xyz).(Paco Martinez,Patrici molina, 2008). Es decir para cada par de valores (x, y) encontraremos la imagen z a traves de la funcion f. Los tres valores de nen un punto en el espacio de tres dimensiones. El conjunto de todos estos puntos nos da la gra ca de la funcion como se puede apreciar en la gura 1.1.

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Figure 1.1: Funcion de dos variables

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Figure 1.2: Mapa curvas de nivel

1.1.2        Curvas de nivel

De nicion 1.1.2. Dada la funcion f de n variables, z = f(x1; x2; : : : ; xn) y un numero real cualquiera c, se de ne la curva de nivel de la funcion f asociada a un determinado valor c de z (z=c) como el conjunto de puntos (x = x1; x2; : : : ; xn) tales que veri can la siguiente condicion: f(x) = c. Donde c es una constante.(James Stewart, 2008, p. 860)

En particular, para una funcion de dos variables z = f(x; y) la curva de nivel para z=a, es el conjunto de todos los pares de valores (x; y) tales que su imagen sea a(mirar gura 1.2). Si denotamos esta curva de nivel como Cz=a podemos decir que:

Cz=a = (x; y) tal que f(x; y) = a

1.1.3        Funcion de tres o mas variables

De nicion 1.1.3. Una funcion de tres variables es una regla que asigna a cada terna ordenada

(x; y; z) en un dominio D, D 2 R3 un unico numero real f(x; y; z). Por ejemplo la temperatura T en

Cont.

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un punto de la super cie de la Tierra depende de la longitud x, latitud y y del punto y del tiempo t, de modo que puede escribir T = f(x; y; t)

Ejemplo 1.1.2. Encuentre el dominio de f si

f(x; y; z) = ln(z        y) + xysinz

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