Syllabus Cálculo III 2017

SYLLABUS

1. Información general

1. Presentación del curso

El Cálculo ha sido fundamental para la historia de las matemáticas y para el progreso de la ciencia y la tecnología durante el último siglo, justificando diferentes resultados, abriendo nuevas disciplinas y generando nuevas preguntas. El área de las matemáticas conocida como Cálculo nos entrega herramientas poderosas para resolver una variedad de problemas de otras disciplinas como la Economía, la Física o la Ingeniería, entre otras.

El curso de Cálculo III aborda el concepto de integral y sus aplicaciones. Como operación de Antiderivada, como herramienta de cálculo de áreas finitas e infinitas, como operación de suma discreta o continua y sus aplicaciones a la modelación, y a la resolución de ecuaciones diferenciales. Durante el semestre se da coherencia a estos enfoques y a sus interrelaciones.

El concepto de integral aparece en la historia de la matemática desarrollado desde dos puntos de vista aparentemente diferentes: como operación inversa de la derivación y como herramienta para el cálculo de áreas. El origen del Cálculo Integral como teoría elaborada se asocia a los trabajos de Newton y Leibniz a finales del siglo XVII quienes fueron capaces de reconocer y desarrollar la estrecha conexión entre estos dos enfoques a través del Teorema Fundamental del Cálculo.

Luego abordamos la pregunta sobre cómo es posible que la suma de una cantidad infinita de números pueda ser finita. Este planteamiento, que puede parecer paradójico en principio, desempeña un papel fundamental en las matemáticas, introduce el concepto de series y tiene varias aplicaciones importantes.

Como ya se vio en el curso anterior, el comportamiento de ciertos fenómenos depende de varias variables, por lo que ampliamos el concepto de integral a integrales múltiples y sus aplicaciones.

Finalizamos el curso dando una aplicación a todos los conceptos tratados con el tema de  ecuaciones diferenciales, que nos permitirá dar solución a problemas donde modelaremos situaciones basándonos en su comportamiento dinámico.

Hay ciertas interrogantes que pueden mostrar el tipo de problemas que se estudian en el curso:

¿Cómo calcular el excedente de los consumidores y el excedente de los productores, en el caso en que las funciones de oferta y demanda no son rectas, sino que cualquier modelo?

¿Cuál es la temperatura de una taza de café 10 minutos después de servida?

Suponga que en un país se gasta aproximadamente el 90% de todos los ingresos y se ahorra el 10%. ¿Qué gasto adicional generará una devolución de impuestos de U$40.000 millones si los hábitos de ahorro no cambian?

¿Cuál será la cantidad de dinero que debe invertirse hoy a una tasa de interés anual de 10% capitalizado continuamente, de manera que se puedan hacer retiros anuales de U$ 400 a perpetuidad, comenzando el próximo año?

¿Cómo calcular y representar gráficamente la ganancia neta generada por cierta maquinaria industrial durante determinado período de tiempo sabiendo que es  la diferencia entre el ingreso total generado por la maquinaria y el costo total de operación y mantenimiento de ésta?

Este curso completa la serie de estudios de Cálculo. Los temas que se abordan están en directa relación con los conceptos y técnicas estudiados anteriormente y forman parte de una rama común de las Matemáticas que permite consolidar en los estudiantes los conocimientos para comenzar con los cursos de estadística y econometría.

Este curso resulta fundamental en la formación del Ingeniero Comercial dada su relevancia para el tratamiento de modelos matemáticos. La solución de ecuaciones diferenciales, la teoría de probabilidades, el cálculo numérico; son todas áreas donde las integrales y las series juegan un papel esencial y de aquí su importancia para la formación del punto de vista matemático.

El alumno deberá no sólo dominar las diversas técnicas del cálculo, sino también tendrá que comprender los conceptos fundamentales y ser capaz de aplicarlos de forma creativa a la resolución de problemas. Por lo tanto se espera una actitud activa de parte del alumno en el estudio de los diferentes temas y una dedicación continua a la asignatura, se espera una actitud positiva en clases hacia la adquisición de nuevos conocimientos. El rol del profesor es servir de guía para el proceso de aprendizaje y encantar al alumno con los temas a tratar mostrando diversas aplicaciones a sus áreas de interés, que el alumno deberá transitar con dedicación y constancia.

1. Objetivos Generales

Comprender y aplicar los objetos y conceptos del Cálculo Integral y de las Ecuaciones diferenciales que serán abordados durante el curso.

Dominar las técnicas y los principales tratamientos que se utilizan en Cálculo Integral para la resolución de problemas.

Modelar situaciones reales utilizando los objetos y propiedades del Cálculo.

1. Contenidos

Unidad 1: Cálculo Integral

• Antiderivadas.
• Métodos de integración.
• Integral de Riemann.
• Teorema del valor medio.
• Teorema fundamental del Cálculo.
• Cálculo de áreas.
• Aplicaciones de la integral: excedentes y centro de masa.
• Integrales impropias

Unidad 2: Series

• Sucesiones y límites
• Series numéricas.
• Criterios de convergencia para series de términos positivos.
• Series alternantes.
• Convergencia absoluta y condicional.
• Series de potencias.
• Series de Taylor. Aproximaciones.

Unidad 3: Integrales dobles

• Integrales iteradas.
• Regiones rectangulares.
• Regiones generales.
• Integrales en coordenadas polares.
• Aplicaciones.

Unidad 4: Ecuaciones diferenciales

• ED. Modelos.
• Campos de direcciones.
• ED autónomas de primer orden.
• ED en variables separables.
• ED exactas.
• ED lineales.

1. Metodología docente

Las actividades docentes se desarrollan en tres  ámbitos: la cátedra,  la ayudantía y el estudio individual.

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