OPERATIVA

TEMA: PROGAMACIÓN LÍNEAL

1.-Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.

Solución

nº Cafeína Sin Cafeína

A x 3x 3x

B y 2y 4y

Totales 120 180

El conjunto de restricciones es:

Los vértices son A(0, 0), B(0, 45), C(20, 30) y D(40, 0) (comprobarlo dibujando la región factible).

La función objetivo es: beneficio =f(x, y)= 6x + 5y

Utilizando el método analítico, el máximo estará en uno de los vértices.

f(0, 0)= 0, f(0, 45)=225 f(20, 30)= 120+150=270 y f(40, 0)=240

Es decir 20 paquetes de A y 30 de B

(Comprobarlo gráficamente)

2. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es:

dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B

dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.

Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿cuál es la distribución óptima para el menor coste?

Solución:

Lo resolveremos gráficamente.

Sean x e y el número de dietas D1 y D2 respectivamente.

La función objetivo es:

C(x,y) = 2,5 x + 1,45 y

Las restricciones son :

2x + y  70

3x + 2y  120 •(20,30)

x  0 , y 0

x y

0 0

29 -50

Los vértices de la región factible son: (0,0),(0,60), (20,30) y (40,0)

Se observa en el gráfico que la solución óptima es 20 D1 y 30 dietas D2.

(Comprobarlo analíticamente)

3. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivarmás de 8 ha con olivos de tipo A, ni más de 10 ha con olivos del tipo B. Cada hectárea

de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente,

500 y 300 litros anuales de aceite:

a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite.

b) Obtener la producción máxima.

Se trata de un problema de programación lineal.

Si x indica las hectáreas de olivo A e y las de B, el objetivo es maximizar:

P(x, y) = 500x + 300y

Restringido por:

x 8

y 10

4x + 3y 44 (restricción por agua)

500x + 225y 4500 (restricción por inversión)

x 0; y 0

Estas restricciones generan la región factible (sombreada) dada en la siguiente figura.

Trazando las rectas de nivel, de ecuación 500x + 300y = k, y trasladándolas hacia la derecha,

según el vector (500, 300), se observa que el nivel máximo se obtiene en el vértice R de coordenadas:

R = (6, 20/3) (método gráfico).

Esta coordenadas son la solución del sistema: (comprobarlo)

Hay que cultivar 6 hectáreas de olivo A y 20/3 hectáreas del tipo B.

b) La producción máxima es

P(6, 20/3) = 500 • 6 + 300 • (20/3) = 5000 litros

(Comprobarlo usando el método analítico)

4. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual seria este?

Solución

Es un problema de programación lineal. Hacemos una tabla para organizarnos

Nº Horas de trabajo Unidades de tela

Modelo A x 4x 3x

Modelo B y 3y 5y

Totales 48 60

Las restricciones son la función objetivo es f(x, y)=40x +20y

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones:

Dibujamos la región factible

Calculamos los vértices:

36+ 3y =48 y =4 luego un vértice es (9, 4)

lo resolvemos por reducción 11y=96 y =96/11 , sustituyendo en la 1ª ecuación, x = 60/11

Los vértices son (0, 0), (9, 0), (9, 4), ( 60/11, 96/11) y (0, 12)

Por el método gráfico vemos que el máximo se alcanza en el punto (9, 4) .

Comprobar este resultado utilizando el método analítico ( calcula el valor de la función objetivo en los vértices)

5. Disponemos de 21000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 7% y las del tipo B, que rinden el 9%. Decidimos invertir un máximo de 13000 euros en las del tipo A y como mínimo 6000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo B sea menor que el doble de la inversión en A. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Solución

nª Interés

Tipo A x 0,07x

Tipo B y 0,09y

Total 21000 0,07x+0,09y

Hay que optimizar la función objetivo: Z = 0,07x+0,09y, sujeta a las siguientes restricciones:

Representamos la región factible:

Rectas auxiliares:

r1 x +y= 21000

x y

0 21000

21000 0

r2 x =13.000 (vertical)

r3 y =6.000 (horizontal)

r4 y =2x

X Y

0 0

3000 6000

Los vértices son, (3.000,6000), (7.000,14.000), (13.000,8000), (13.000, 6.000)

Gráficamente obtenemos la solución óptima en el punto (7.000, 14.000)

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