Probabilidad

INTRODUCCION

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) y luego al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles. La teoría de la probabilidad se utiliza en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía.

Este trabajo consiste en la realización de ejemplos problemáticos aplicados a la probabilidad simple – compuesta; sucesos excluyentes – no excluyentes / dependientes – independientes; regla de la adición / multiplicación; diagrama del árbol; teorema de Bayes; análisis combinatorio de permutación – combinación.

1. Definición de Probabilidad

Las probabilidades estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cual será en particular el resultado del experimento. La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un o un conjunto de resultados. Esta teoría se utiliza en áreas como la estadística, física, matemática, ciencia y la filosofía para poder sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de temas complejos.

Se encuentran también la Probabilidad Simple (marginal), un evento imposible tiene una probabilidad de cero de ocurrir y un cierto evento tiene una probabilidad de uno de poder ocurrir; la Probabilidad Conjunta se refiere cuando hay dos o mas eventos, como la probabilidad de un empleado que este satisfecho con el trabajo, dos eventos mutuamente excluyentes si ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo, como por ejemplo ser hombre y ser mujer (nadie es ambos).

Dentro de la Probabilidad Compuesta esta la Probabilidad Condicionada, que es cuando se incorpora información adicional a las condiciones iniciales, la posibilidad de que suceda un suceso E condicionada por la ocurrencia del suceso D.

2. Probabilidad Compuesta

2.1 Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4. Determinar:

a.

b.

c.

2.2 En una caja hay 5 globos: 3 azules y 2 verdes. Se extrae un globo, se anoto el color y se repite el mismo proceso otra vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 globos azules? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea verde y la segunda azul?

a) Con devolución

b) Sin devolución

Con devolución – Sucesos independientes =

Probabilidad de obtener dos globos azules:

1ra Extracción; 2da Extracción;

Probabilidad 1ra. Verde y 2da Azul:

1ra Extracción; 2da Extracción;

3. Diagrama del Árbol – Regla de Multiplicación

Una urna contiene 5 remeras rojas y 8 verdes. Se extrae una remera y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda remera. Se pide:

1. Probabilidad de que la segunda remera sea verde.

Por medio de la regla de la multiplicación, tenemos:

2. Probabilidad de que las dos remeras extraídas sean del mismo color.

4. Diagrama del Árbol – Regla de Multiplicación – Teorema de Bayes

En un estante hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar del estante y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

Aplicando la regla de la multiplicación, tenemos:

2. Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

Aplicando la formula el teorema de Bayes, tenemos:

5. Teorema de Bayes

Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

6. Análisis Combinatorio PERMUTACION

6.1 Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

6.2 ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5 n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

7. Análisis Combinatorio COMBINACION

7.1 En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

7.2 Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

8. Regla de la Adición

8.1. La probabilidad de que un avión con varias escalas llegue a Denver a tiempo es de 0.30. La probabilidad de que este avión llegue a Houston es de 0.40 y la probabilidad de que ni llegue a Houston ni llegue a Denver a tiempo es de 0.40.

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