Probabilidad

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

CONCEPTOS BÁSICOS

Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles.

Resultado: lo que resulta en particular de un experimento.

Evento: conjunto de uno o más resultados de un experimento.

Espacio muestral: son todos los posibles resultados de un experimento. Cualquier resultado experimental particular se llama punto muestral y es un elemento del espacio muestral.

Tipos de sucesos

• Exhaustivo: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.

Simbólicamente: p (A o B o...) = 1

• No exhaustivos: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si no cubren todos los posibles resultados.

• Mutuamente excluyentes: sucesos que no pueden ocurrir en forma simultánea:

P(A y B) = 0 y p(A o B) = p(A) + p (B)

Ejemplo: hombres, mujeres

• No mutuamente excluyentes: sucesos que pueden ocurrir en forma simultánea:

P (A o B) = p (A) + p (B) – p (A y B )

Ejemplo: hombres, ojos cafés

• Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro :

P ( AI B ) = P ( A ); P ( BIA ) = P (B) Y P (A Y B) = P(A) P(B)

Ejemplo: sexo y color de ojos

• Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia o no ocurrencia del otro:

P ( AI B ) difiere de p (A); P ( BIA ) difiere de P(B);

y P (A Y B)= P ( A ) P ( BIA )= P (B) P ( AI B )

Ejemplo: raza y color de ojos

Probabilidades conjuntas: probabilidad de que dos sucesos o más, ocurran simultáneamente

Probabilidades marginales: o probabilidades incondicionales = suma de probabilidades.

Enfoques de la probabilidad

Probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

Utilizando el punto de vista clásico,

Probabilidad de un evento = no. de resultados probables no. De resultados posibles

Ejemplo

Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.

El espacio muestral S = {HH, HT, TH, TT}

Considere el evento de una cara.

Probabilidad de una cara = 2/4 = 1/2.

Distribución muestral

El diagrama de árbol es muy útil para visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.

EJEMPLO: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información.

2.2 AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Primer axioma : La probabilidad de un suceso A es un número real entre 0 y 1.

Segundo axioma :Ocurre un suceso de la muestra de todos los sucesos o espacio de sucesos Ω con probabilidad 1.

Tercer axioma Si A1, A2 ... son sucesos mutuamente excluyentes

2.3 PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento.

Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como

P(A|B).

Reglas básicas de probabilidad

Si los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que otro eventos ocurra.

Reglas de adición: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Ejemplo

Llegada Frecuencia

Antes de tiempo 100

A tiempo 800

Demorado 75

Cancelado 25

Total 1000

Aerolíneas Argentinas acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos de Buenos Aires a Rosario:

Ejemplo

Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces

P(A) = 100 /1000 = 0.1.

Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces

P(B) = 75 /1000 = 0.075.

La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es

P(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175.

UNIDAD III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

3.1 VARIABLES ALEATORIAS

Las variables aleatorias son una transformación

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