Resuelva la ecuación diferencial

Resuelva la ecuación diferencial

dy/dx=y/x+x/y

Reescribiendo la ecuación diferencial obtenemos:

y^'=y/x+1/((y/x) )

Realizando el cambio de variable:

u=y/x y=ux

y^'=u+u'x

u+u'x=u+1/((u) )

u'x=1/u

du/dx x=1/u

u du=1/x dx

∫▒〖u du=〗 ∫▒〖1/x dx〗

u^2/2=ln|x|+C

u^2= 2ln|x|+2C

u=±√(2ln|x|+2C)

Realizando nuevamente el cambio de variable:

u=y/x

y/x=±√(2ln|x|+2C) 2C=K

Obtenemos como solución:

y=±x√(2ln|x|+K)

E. Resuelva la Ecuación diferencial.

x dy/dx+4y=x^4 y^2 Sujeta a y(1)=1

Estandarizando la Ecuación Diferencial y cambiando la notación de la derivada obtenemos:

y^'+(4/x)y=x^3 y^2

Notemos la presencia de y^2 en la parte derecha de la ecuación, lo cual nos indica que esta ecuación presenta la forma de una ecuación de Bernoulli la cual tiene la forma

y^'+P_((x) ) y=q_((x) ) y^n

Realizando el cambio de variable

v=y^(1-n)

en nuestro caso n=2

v=y^(-1) v^'=-y^(-2) y^' (regla de la cadena)

Multiplicando toda la ecuación diferencial por el factor -y^(-2) a ambos lados de la igualdad obtenemos:

(-y^(-2) )(y^'+(4/x)y)=(-y^(-2) )(x^3 y^2 )

-y^(-2) y^'-(4/x) y^(-1)=-x^3

Realizando el cambio de variable

v^'-(4/x)v=-x^3

Aplicando el factor integrante

Sea un factor integrante μ_((x) )=e^∫▒〖P_((x) ) dx〗

Una solución de la ecuación diferencial seria de la forma

v=(1/( μ_((x) ) ))(∫▒(q_((x) ) )( μ_((x) ) )dx)

Hallando el factor integrante para nuestra ecuación diferencial

μ_((x) )=e^∫▒〖-4/x dx〗=e^(-4ln|x| )=e^ln(x^(-4) ) =x^(-4)

Por tanto

v=(1/( x^(-4) ))(∫▒(-x^3 )(x^(-4) )dx)

v=(x^4 )(∫▒(-x^(-1) )dx)

v=x^4 (-ln(x)+C)

Restableciendo la variable inicial obtenemos

1/y=x^4 (-ln(x)+C)

y=1/(x^4 (C-ln(x)) )

Utilizando el valor inicial podemos obtener el valor de C, hallando dicho valor

y(1)=1

1=1/((1)^4 (C-ln(1)) )

1=1/C

C=1

Por tanto la ecuación diferencial con valor inicial es igual a:

y_((x) )=1/(x^4 (1-ln(x)) )

SEGUNDA ACTIVIDAD

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 1 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

Para poder realizar este problema se debe conocer una

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