Secciones cónicas

SECCIONES CÓNICAS 

Historia de las secciones cónicas 

Gracias a los estudios que se han realizado sobre las secciones cónicas, se puede decir que existen desde antes de Cristo, dado que muchos pensadores matemáticos como Johannes Keppler han escrito de ellas. Gracias a los aportes de los matemáticos, se logra definir que es una sección cónica. 

A continuación veremos algunos  de los aportes de los matemáticos.

Apolonio de Perga.

Cuenta con 8 libros hablando de las cónicas, definiciones, ejemplos, y su ardua investigación de las mismas. El fue uno de los pioneros probando que un corte en el plano con forma de cono, va a formar una cónica, no importa cómo sea el cono, como resultado siempre dará una cónica. 

Johannes Keppler 

Realizó un trabajo donde logra establecer el principio de continuidad el cual nos dice que una cónica se forma gracias a dos focos los mismos de manera gradual y como resultado de este, se dará una hipérbola. Esto ayudó a Keppler a establecer 5 tipos de cónicas

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Figura 1. Los 5 tipos de cónicas de Keppler 

Rene Descartes

Descartes en uno de sus libros nos comenta sobre los problemas geométricos de las cónicas dentro del álgebra lineal. El Álgebra lineal le ayuda a un mejor estudio de las curvas que se expresan como ecuaciones de primer y segundo orden. 

Arthur Cayley y James Sylvester 

Sylvester al ser padre de las matrices, forma un lenguaje del mismo para representar y estudiar las secciones cónicas junto con Cayley. Cayley brinda 5 diferentes casos de intersecciones y 3 de multiplicidad y Sylvester aporta con las soluciones, ambos logrando la representación matricial que producen las cónicas. 

Definición de Secciones cónicas 

Cónica

Se determina una cónica a una curva la cual es plasmada en el plano cartesiano, dadas por ecuaciones de segundo grado. 

Ecuación general de una cónica

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Dado que  esto nos garantiza una ecuación de grado dos. [pic 3]

A esto también podemos llamarle lugar geométrico a aquellos puntos en el plano cartesiano que forman un punto fijo y a este se lo denomina ¨foco¨, y se cuenta con una línea recta, a la cual llamaremos directriz, y esta es constante. Cuando es constante forma una elipse dado que la unidad es menor, pero si la misma es mayor forma una hipérbola y si la unidad es constante se crea una parábola.

Sección

  Las curvas pueden ser determinadas en diferentes secciones del plano con respecto a un cono circular recto, si el cono no llega a pasar por su vértice se llama una cónica degenerada.

Por excentricidad

Distinción por el coeficiente entre su distancia focal que denominaremos z y el eje real x, representado de la siguiente manera 

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  Matriz A, asociada a la cónica.

Aquellas matrices que son simétricas pueden determinar una cónica 

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A = [pic 6]

Matriz T de términos cuadráticos

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