Suma y multiplicación de matrices.

Tema Matrices: Suma y multiplicación de matrices. Inversa de una matriz.

Actividades de aprendizaje

Identifica, caracteriza y representa diferentes tipos de matrices.

Aplica las técnicas y procedimientos establecidos en la realización de operaciones básicas de matrices.

¿Qué son las matrices?

Las matrices son arreglos o disposiciones de elementos en filas y columnas. Generalmente estos elementos son numéricos. Los siguientes son ejemplos de matrices

(■(1&-1&3@3&0.5&0@-5&2&1)) (■(5&1@2&-4@1/2&0)) (■(2&-2&1@3&1&8))

Orden 3x3 Orden 3x2 Orden 2x3

Si m es el número de filas y n el número de columnas, decimos en general, que una matriz tiene orden o dimensión mxn

Tipos de matrices

Se dice que una matriz de orden mxn es cuadrada cuando m=n, es decir, si tiene el mismo número de filas y columnas. Si la matriz no es cuadrada se dice que es rectangular, es decir, cuando el número de filas y columnas no es el mismo.

Existen matrices que constan de solamente una fila, en este caso se les llama matriz fila. Tiene el orden 1xn. Las matrices columnas tienen orden mx1, es decir tienen solamente una columna.

La matriz nula es aquella cuyos elementos son todos iguales a cero.

Si la matriz es cuadrada, a los elementos de la matriz a11, a22, a33, …, amm se les llama diagonal principal de la matriz. Por ejemplo, en la matriz cuadrada (■(1&-1&3@3&0.5&0@-5&2&1))los elementos de la diagonal principal son 1, 0.5 y 1.

La matriz identidad es aquella matriz cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y el resto de elementos es 0. Un ejemplo de matriz identidad es

I_2x2=(■(1&0@0&1))

Operaciones con matrices

Las principales operaciones que se pueden realizar con matrices son adición, sustracción, multiplicación o división por un número, transponer la matriz, multiplicar matrices y obtener su inversa.

Adición de matrices:

Podemos sumar matrices si tienen el mismo orden. La suma es una matriz del mismo orden de las matrices sumandos. La operación de suma consiste en sumar los dos miembros de cada matriz que ocupan la misma posición. El resultado es otra matriz.

(█(■(a_11&a_12&⋯a_1n@a_21&a_22&⋯a_2n@⋮&⋮&⋮)@a_m1 〖 a〗_m2 ⋯a_mn ))+(█(■(b_11&b_12&⋯b_1n@b_21&b_22&⋯b_2n@⋮&⋮&⋮)@b_m1 〖 b〗_m2 ⋯b_mn ))=(█(■(a_11+b_11&a_12+b_12&⋯a_1n+b_1n@a_21+b_22&a_22+b_22&⋯a_2n+b_2n@⋮&⋮&⋮)@a_m1+b_m1 〖 a〗_m2+b_m2 ⋯a_mn+b_mn ))

La sustracción de matrices es similar.

Ejemplo 1

Calcular la suma de las matrices A=(■(2&-1&4@0&3&2)) y B=(■(-3&5&0@2&1&6)).

Solución

A+B=(■(2&-1&4@0&3&2))+(■(-3&5&0@2&1&6))=(■(2+(-3)&-1+5&4+0@0+2&3+1&2+6))

Respuesta A+B=(■(-1&4&4@2&4&8))

Ejemplo 2

Hallar A – B si A = (■(-2&6@1/2&-1/2)) y B = (■(2&4@3/2&-1/2))

Solución

A – B = (■(-2&6@1/2&-1/2)) - (■(2&4@3/2&-1/2)) = (■(-2-2&6-4@1/2-3/2&-1/2-(-1/2)))=(■(-4&2@-1&0))

Respuesta A – B = (■(-4&2@-1&0))

Multiplicación por un escalar.

Si A es una matriz y k es un escalar (un número), entonces si A = (█(■(a_11&a_12&⋯a_1n@a_21&a_22&⋯a_2n@⋮&⋮&⋮)@a_m1 〖 a〗_m2 ⋯a_mn )),

kA = k(█(■(a_11&a_12&⋯a_1n@a_21&a_22&⋯a_2n@⋮&⋮&⋮)@a_m1 a_m2 ⋯a_mn ))= (█(■(〖ka〗_11&ka_12&⋯〖ka〗_1n@〖ka〗_21&ka_22&⋯〖ka〗_2n@⋮&⋮&⋮)@〖ka〗_m1 〖ka〗_m2 ⋯〖ka〗_mn ))

Ejemplo 3

Multiplicar la matriz A = (■(-1&2@2&0@4&3)) por -3.

Solución

-3(A) = -3A= -3x(■(-1&2@2&0@4&3))= (■(3&-6@-6&0@-12&-9))

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