Técnicas de SOLUCIÓN A ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES con transformada de LAPLACE.

COMPETENCIA:     Técnicas   de    SOLUCIÓN  A ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES con transformada de LAPLACE.

SOLUCIÓN DE CIRCUITOS RLC, RL, RC, LC, CON L.

EJEMPLO #1:      CIRCUITO RLC PARALELO CON FUENTE DE CORRIENTE COSENOIDAL.

Considere el siguiente circuito paralelo,  donde:    Is1 = 8 Cos ( 2t + 6 ),     R = 2 Ω,      L = 3 H,      C = 0.7 F.

Con las siguientes  condiciones iniciales:      i ( 0 - ) = 3 Amperios,  en la bobina.    v ( 0 - ) = 1 Voltio, en el capacitor.

[pic 1]

1. Encuentre la respuesta de voltaje  V = V ( t )  del circuito,   e identifique en ella la parte Natural                             ( Complementaria o Transitoria )  y la parte  Forzada ( Particular o Permanente ).

       Observe que como se trata de un paralelo, el voltaje en todos los elementos es el mismo:

        VR = VL = VC = V = V( t ).  

1. Encuentre la respuesta de corriente   iR ( t )  a través de la  Resistencia  R.    Identifique la parte Natural  y   la parte Forzada.

1. Encuentre la respuesta de corriente   iL ( t )  a través de la  Bobina  L.    Identifique la parte Natural  y   la parte Forzada.

1. Encuentre la respuesta de corriente   iC ( t )  a través del Capacitor C.    Identifique la parte Natural  y   la parte Forzada.

SOLUCIÓN AL EJEMPLO #1:      

Recordemos el algoritmo de solución de circuitos utilizando el método de Laplace y Heaviside:

[pic 2]

1. Para encontrar la respuesta de voltaje del circuito es necesario  en primer lugar,  encontrar el modelo del circuito.  Para hacerlo   utilizamos  la ley de corrientes de KIRCHHOFF:              

1. Σ    i   =  0  ;                                                                                                                                        nodo

             -  Is1    +   iR   +    iL      +    iC       =    0        

                          iR      +           iL              +         iC        =   Is1         

                          vR     +  1   ∫t   vL  dt   +     C d vC   =  Is1                                                                                                                                                                                                                                .                          R         L   -∞                          dt    

                          vR     +  1   ∫t   vL  dt  +   0.7 d vC   =  8 Cos ( 2t + 6 )                                                                                                                                                                                                                                 .                          2          3   -∞                         dt  

El siguiente paso sería aplicar la transformación de LAPLACE  a ambos lados de la ecuación,  pero debemos recordar que la  L   no está definida para los tiempos negativos o sea para los t < 0,  por lo tanto la integral que representa la  corriente de la bobina que se define  para los tiempos desde:  t  = - ∞  hasta cualquier tiempo:  t,  debe partirse,  y reemplazar el valor de la corriente de la bobina para los t negativos:  i ( 0 - ) = 3 Amperios.

                          vR  +  1 { ∫0 vL  dt   +   ∫t  vL  dt  } + 0.7 d vC   =  8 Cos ( 2t + 6 )                                                                                                                                                                                                                                  .                          2       3    -∞                0                          dt    

                    0.5 vR  +  1 {  i ( 0 - )   +   ∫t  vL  dt  } + 0.7 d vC   =  8 Cos ( 2t + 6 )                                                                                                                                                                                                                                  .                                   3                      0                         dt    

...