TEMA DE LAS MATRICES Y DETERMINANTES.

TEMA 6

MATRICES Y DETERMINANTES

OBJETIVO

Al finalizar el estudio de este tema el alumno:

• Aprenderá el concepto de matriz y su representación.
• Podrá realizar diversos tipos de operaciones con matrices.
• Comprenderá las propiedades de dichas operaciones con matrices.

 Introducción

Una matriz puede representar una tabla de valores, un determinante, una familia de vectores, una aplicación lineal, un endomorfismo, un sistema de ecuaciones diferenciales, una forma bilineal..., como podemos ver una misma representación matricial se puede interpretar de distintas maneras pero, también, diferentes matrices pueden representar el mismo objeto.

En el siglo XX la idea de matriz se transformó en un elemento básico del álgebra. Se ha pasado de la idea original de Sylvester (1851) de matriz como madre de los menores de un determinante, por las leyes del cálculo de matrices de Cayley (1858), hasta los procedimientos de descomposición matricial de Weyr (1885).

Los orígenes de las matrices y determinantes se encuentran entre los siglos II y III a.c.

6.1 Definición de matriz y de igualdad de matrices. Operaciones con matrices y sus propiedades: adición, sustracción, multiplicación por un escalar y multiplicación. Matriz identidad.

Matriz.

• Definición[pic 1]

El orden o dimensión de una matriz de mxn, se define como la que tiene m filas y n columnas. Si una matriz tiene el mismo número de filas y de columnas, se denomina matriz cuadrada. Una matriz con una sola columna, se denomina matriz columna y una con una sola fila, se denomina matriz fila.

[pic 2]

Igualdad de matrices.

• Definición[pic 3]

[pic 4]

Si y sólo si:

[pic 5]

• Operaciones con matrices y sus propiedades:

Adición.

• Definición[pic 6]

Para matrices con diferentes dimensiones no se define la suma.

[pic 7]

Ejemplos.- 

[pic 8]

[pic 9]

Debido a que la suma de dos matrices es igual a la matriz formada con la suma de los elementos correspondientes, se infiere de las propiedades de los números reales que la suma de matrices de la misma dimensión es asociativa y conmutativa, es decir, si A, B y C son matrices de la misma dimensión, entonces:

[pic 10]

Ejemplos.- 

Propiedad de cerradura:

[pic 11]

Propiedad asociativa:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Propiedad conmutativa:

[pic 15]

[pic 16]

Propiedad del elemento idéntico:

[pic 17]

Propiedad del elemento inverso:

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Sustracción.

Si A y B son matrices de la misma dimensión, entonces se define la resta de la siguiente manera:

[pic 19]

Ejemplos.- 

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Las propiedades de la sustracción son las mismas que las de la adición.

Multiplicación de una matriz por un escalar.

El producto de un número k y una matriz M, que se denota por kM, es una matriz con elementos formados por la multiplicación de cada elemento de M por k.

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