Tabajo De Metodos Numericos

INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo abarcaremos la unidad 3 titulada diferenciación e integración numérica, y solución de ecuaciones diferenciales a través de 2 ejercicios y un mapa conceptual de la unidad que nos permitirán poner en práctica temas como: diferenciación e integración numérica y solución de ecuaciones diferenciales, para ello se requiere un estudio previo de la regla trapezoidal, regla de Simpson y métodos como el de Euler, Runge-Kutta, Métodos multipasos/Integración de Romberg; que nos permitirán el fácil entendimiento y desarrollo de los ejercicios planteados.

Con este trabajo se hace un análisis numérico, con los métodos de la integración numérica que constituyen una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

Una de las razones para llevar a cabo la integración numérica es que se puede haber imposibilidad de realizar la integración de forma analítica.

Para la ingeniería la computadora, es la herramienta más poderosa hasta ahora conocida, para la solución de problemas en el campo de las ciencias exactas, en este caso los métodos numéricos, como punto principal por sus aplicaciones en la ingeniería.

Los métodos numéricos son técnicas, donde es posible resolver los problemas por medio de operaciones aritméticas, estos métodos implementan un buen número de cálculos que son por demás demasiado lentos si se hacen manualmente, gastando mucha energía en la técnica misma de solución en vez de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación.

El trabajo monótono que se hacía anteriormente al uso de la computadora, hace de importancia, el dominio de los métodos numéricos, los cuales se deben llevar a cabo en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras para de esa forma resolver los problemas de ingeniería mucho más fácilmente y eficientemente.

OBJETIVOS

Estudiar, entender y conocer lo que presenta cada capítulo de la unidad n°3.

Comprender lo planteado por la regla de Simpson y Runge-Kutta.

Realizar los ejercicios sobre diferenciación e integración numérica y solución de ecuaciones diferenciales.

Estudiar y utilizar las Ecuaciones en Diferencias Finitas.

Aproximar integral usando el método trapezoidal.

El objetivo de los métodos numéricos de runge-kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud más alto que este.

FASE I. Mapa conceptual por capítulo de la unidad 3

FASE II. Ejercicios

Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral: (Recuerde que debe hallar f (-2), f (1) y f (4)).

∫_(-2)^4▒(1-x-4x^3+x^5 ) dx

La regla de Simpson establece

∫_(-2)^4▒(1-x-4x^3+x^5 ) dx

n= 2

∆x=(b-a)/n=(4-(-2))/2= (4+2)/2=6/2=3

∆x=3

x_0=a= -2

x_1= -2+∆x

x_1= -2+3

x_1= 1

x_2= x_1+∆x

x_2=1+3

x_2=4

f(-2)=1-(-2)-4(-2)^3+(-2)^5

f(-2)=1+2-4(-8)-32

f(-2)=1+2+32-32

f(-2)=3

f(1)=1-1-4(1)^3+(1)^5

f(1)=1-1-4+1

f(1)=-3

f(4)=1-4-4(4)^3+4^5

f(4)=1-4-4∙64+1024

f(4)=1-4-256+1024

f(4)=765

X F(x)

x_0 -2 3

x_1 1 -3

x_2 4 765

I≅ ∆x/3=[f(x_0 )+4f(x_1 )+f(x_2)]

I≅ 3/3 [3+4∙(-3)+765]

I≅ 1[3-12+765]

I≅ 1[756]

I≅ [756]

Por lo tanto la aproximación es

∫_(-2)^4▒(1-x-4x^3+x^5 ) dx ≅ [756]

Para n=4

∆x=(b-a)/n=(4-(-2))/4= (4+2)/4=6/4=1,5

∆x=1,5

x_0=a= -2

x_1= x_0+∆x

x_1= -2+1,5

x_1= -0,5

x_2= x_1+∆x

x_2=-0,5+1,5

x_2=1

x_3= x_2+∆x

x_3=1+1,5

x_3=2,5

x_4= x_3+∆x

x_4=2,5+1,5

x_4=4

f(x_0 )=f(-2)=1—2-4(-2)^3+(-2)^5=3

f(x_1 )=f(-0,5)=1—(-0,5)-4(0,5)^3+(0,5)^5=1,96875

f(x_2 )=f(1)=1—1-4(1)^3+(1)^5=-3

f(x_3 )=f(2,5)=1—(2,5)-4(2,5)^3+(2,5)^5=33,65625

f(x_4 )=f(4)=1—4-4(4)^3+(4)^5=765

X F(x)

x_0 -2

3

x_1 - 0,5 1,96875

x_2 1 -3

x_3 2,5 33,65625

x_4 4 765

I≅ ∆x/3=[f(x_0 )+4f(x_1 )+2f(x_2 )+4f(x_3 )+f(x_4)]

I≅ 1,5/3 [3+4∙(1,96875)+2∙(-3)+4∙33,65625+765]

I≅ 0,5[3+7,875-6+134,625+765]

I≅ 0,5[904,5]

I≅ [452,25]

Otra solución

∫_(-2)^4▒〖(1-x-4X^(3 )+X^5 〗) dx Aproximar por Simpson 1/3

Primero se evidencia que la gráfica presenta dos puntos de corte con el eje x. Procedemos a encontrar dichos puntos para evaluar la integral con estos límites.

x^5-4x^(3 )-x+1=0 x=-2.083490401

x=0.5083837993

x=2.030539858

Integramos en el intervalo [-2, 0.5683837993]

Para Simpson 1/3 simple.

∫_a^b▒f(x) ≅ □((b-a)/6) [f (a)+4f((a+b)/2)+f(b)]

a=-2,b=0.5083837993

≅0.4180639666 [f(-2)+4*f(-0.7458081004)+f(0.5083837993)]

≅0.418063966[3+4.(3.174423942)+0]=6.562640959

De forma analítica resulta:

∫_(-2)^0.5083837993▒〖(1-x-4x^3+x^5 )dx=x-x^2/2〗-4 x^4/4+x^6/6 ∫_(-2)^0.5083837993▒〖=9.648569〗

Para Simpson 1/3 compuesta.

∫_a^b▒f(x) ≈h/3 [f(a)+4∑_(i=1)^(n/2)▒〖f(x_2i-1)+2∑_(i=1)^(n/2-1)▒〖f(x_2i )+f(b) 〗〗]

Donde h=(b-a)/n n siendo entero por mayor igual a 2

Para n=6 →h =2.508/6 h/3=2.508/18

→ 2.508/16=0.418639666 son los pasos sucesivos que se realizan en la integración.

≈2.508/18*[f(-2)+4f(-1.581936033)+2f(-1.163872067)+4f(-0.7458081004)+2f(-0.3277441338)+4f(0.09031983275)+f(0.5083837993)]

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