Taller de matematicas para la casa

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN BIOLOGIA Y QUIMICA

Mag. Erwin Maury Mancilla

UNIDAD 1: CONJUNTOS

1.1 Conjuntos y elementos de un conjunto.

Estrictamente hablando, consideramos “conjunto” como un concepto no definido. Se acostumbra usar como sinónimos de conjunto las palabras “colección”, “agrupación”, “clase”. Consideramos determinado un conjunto, cuando tenemos un medio para decidir si un objeto está en el conjunto o no. Los objetos que constituyen un conjunto se llaman elementos o miembros. Usualmente empleamos letras minúsculas para designar los elementos de un conjunto y letras mayúsculas para designar conjuntos. Así, hablaremos del elemento a y del conjunto A

Si un elemento a  pertenece al conjunto A, se expresa escribiéndolo simbólicamente:

“a ∈ A”,

y la proposición “b no es elemento de A” o “b no pertenece a B” se expresará por

“b ∉ A”

Usaremos los símbolos:

“a, b ∈ A”

para expresar que ambos, a y b, son elementos de A

El orden en que se escriben los elementos de un conjunto no tiene importancia; además, se sobreentiende  que los elementos de un conjunto son distintos. Es decir, los conjuntos: {a, c, b} y {c, a, b} deben ser considerados como un mismo conjunto; la colección a, b, c, d, b, c no constituye un conjunto con seis elementos, sino un conjunto con cuatro elementos, al que representamos por: {a, b, c, d}

Ejemplos 1:

1. Los números 1, 3, 7 y 10
2. Las soluciones de la ecuación x2 + 8x + 15 = 0
3. Las vocales abiertas: a, e, o
4. Los estudiantes ausente de la Universidad
5. Los estudiantes Pedro, María y José
6. Las ciudades capitales de Colombia
7. Los países Colombia, Venezuela y Ecuador
8. Los ríos de Colombia
9. Los Números 2, 4, 6, 8,…
10. Los habitantes de la Tierra

Observe que los conjuntos de los ejemplos impares vienen definidos, o sea enumerando de hecho sus elementos, y que los conjuntos de los ejemplos pares se definen enunciando propiedades o reglas, que deciden si un objeto en particular es o no elemento del conjunto.

1.2 Determinación de conjuntos.

Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias 

1.2.1 Extensión: Un conjunto se expresa por extensión cuando  se describen o enumeran  a cada uno de los elementos.

Ejemplos 2:

1. A = {1, 3, 7, 10}
2. B = {a, e, o}
3. C = {Pedro, María, José}
4. D = {Colombia, Venezuela, Ecuador}
5. E = {2, 4, 6, 8,…}

1.2.2 Comprensión: Un conjunto se expresa por comprensión cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.

Ejemplos 3:

1. G = {x | x2 + 8x + 15 = 0}
2. H = {x/x es un estudiante y x esta ausente de la Universidad}  
3. M = {x/ x es una ciudad capital de Colombia}
4. N = {x/x es un río y x está en Colombia}
5. P = {x/x es una persona que  habita en la tierra}

1.3 Relaciones entre conjuntos.

1.3.1 Igualdad de conjuntos Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se simboliza:

A = B

Ejemplos 4:

1. A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 1, 4, 2}, entonces A = B
2. B = {x/x 2 + 5x + 6 = 0}, C = {-2, -3} y D = {-2, -3, -3, -2}, resulta B = C = D

1.3.2 Subconjuntos. Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B, indicamos esto escribiendo A  ⊆ B o B ⊇ A, lo cual se lee: “A es subconjunto de B” o “B contiene a A”

Ejemplos 5:

1. {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
2. {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}

Con la anterior definición de subconjunto se puede dar de otra manera la definición de la igualdad de dos conjuntos:

Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si, y solo si, A ⊆ B y B ⊆ A

Si A es un subconjunto de B, y si hay al menos un elemento de B que no es miembro de A, entonces A es un subconjunto propio de B, escribimos A ⊂ B. Si A no es subconjunto propio de B, escribimos A ⊄ B.

Ejemplos 6:

1. {a} ⊂ {a, b}
2. {a, b} ⊄ {a, b}

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C, esto es:

A ⊂ B y B ⊂ C implican  A ⊂ C

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