Tarea Probabilidades

Tres grandes farmacéuticas se encuentran en una carrera frenética por conseguir una vacuna para una

rara enfermedad que está afectando el mundo entero. Han estado trabajando desde hace varios meses

y estiman que pronto podrán patentar y sacar al mercado la tan anhelada vacuna. La farmacéutica

PAX estima que el tiempo restante para producir la vacuna distribuye Uniforme entre 100 y 190 días.

Por su parte, la farmacéutica CLAPS cree que logrará producir la vacuna en un tiempo que distribuye

Normal con media 140 días y desviación estándar 30,5 días. Por último, la farmacéutica SPARKS

cree firmemente que logrará producir la vacuna en un tiempo que distribuye Normal con media 145

días y desviación estándar 20,5 días.

1- Las tres farmacéuticas se enteraron que el laboratorio de Infectología de la Universidad de

Oxford se encuentra bastante avanzado en sus pruebas y con toda seguridad tendrá la

vacuna lista para producir en 130 días más (en el instante en que se inicia el día 130) ¿Cuál

es la probabilidad que PAX y/o CLAPS y/o SPARKS logre(n) producir la vacuna antes que

la Universidad de Oxford? (utilice 2 decimales) (7 puntos)

Respuesta:

Definamos la probabilidad que cada farmacéutica logre producir la vacuna en 129 días o menos,

para lo anterior tenemos que:

PP: tiempo transcurrido hasta que la farmacéutica PAX logre producir la vacuna.

PC: tiempo transcurrido hasta que CLAPS logre producir la vacuna.

PS: tiempo transcurrido hasta que SPAKS logre producir la vacuna.

Dado lo anterior tenemos que:

P(PP ≤ 129) =

129 − 100

190 − 100 = 0,32

P(PC ≤ 129) = P (Z ≤

129 − 140

30,5

) = P(Z ≤ −0,36) = 0,36

P(PS ≤ 129) = P (Z ≤

129 − 145

20,5

) = P(Z ≤ −0,78) = 0,22

Tomando en cuenta lo anterior, la probabilidad que una o dos o las tres farmacéuticas logren

producir la vacuna antes que el laboratorio de la Universidad de Oxford es:

P(Producción de Farmacéutica Previo a la Universidad de Oxford) =

= P(PP ≤ 129) ∙ P(PC > 129) ∙ P(PS > 129) + P(PP > 129) ∙ P(PC ≤ 129)

∙ P(PS > 129) + P(PP > 129) ∙ P(PC > 129) ∙ P(PS ≤ 129)

+ P(PP ≤ 129) ∙ P(PC ≤ 129) ∙ P(PS > 129) + P(PP ≤ 129)

∙ P(PC > 129) ∙ P(PS ≤ 129) + P(PP > 129) ∙ P(PC ≤ 129) ∙ P(PS ≤ 129)

+ P(PP ≤ 129) ∙ P(PC ≤ 129) ∙ P(PS ≤ 129)

= (0,32) ∙ (1 − 0,36) ∙ (1 − 0,22) + (1 − 0,32) ∙ (0,36) ∙ (1 − 0,22) + (1 − 0,32)

∙ (1 − 0,36) ∙ (0,22) + (0,32) ∙ (0,36) ∙ (1 − 0,22) + (0,32) ∙ (1 − 0,36)

∙ (0,22) + (1 − 0,32) ∙ (0,36) ∙ (0,22) + (0,32) ∙ (0,36) ∙ (0,22) = 0,67

Finalmente, la probabilidad que una o dos o las tres farmacéuticas logren producir la vacuna antes

que el laboratorio de la Universidad de Oxford es 0,67.

2- Han pasado 100 días y ninguna de las tres farmacéuticas ha logrado aún producir la vacuna

¿Cuál es la probabilidad que PAX y/o CLAPS y/o SPARKS logre(n) producir la vacuna

antes que la Universidad de Oxford? (utilice 2 decimales) (8 puntos)

Respuesta:

Definamos la probabilidad que cada farmacéutica logre producir la vacuna en 29 días o menos,

dado que ya han transcurrido 100 días. Para lo anterior tenemos que:

PP100: tiempo transcurrido hasta que la farmacéutica PAX logre producir la vacuna dado que han

pasado 100 días.

PC100: tiempo transcurrido hasta que CLAPS logre producir la vacuna dado que han pasado 100

días.

PS100: tiempo transcurrido hasta que SPAKS logre producir la vacuna dado que han pasado 100

días.

Dado lo anterior tenemos que:

P(PP100 ≤ 29) =

129 − 100

190 − 100 = 0,32

P(PC100 ≤ 29) = P(PC ≤ 129|PC > 100) =

P(PC ≤ 129 y PC > 100)

P(PC > 100)

=

=

P(PC ≤ 129) − P(PC ≤ 100)

1 − P(PC ≤ 100)

=

P(Z ≤ −0,36) − P(Z ≤ −1,31)

1 − P(PC ≤ −1,31)

=

0,36 − 0,09

1 − 0,09 = 0,29

P(PS100 ≤ 29) = P(PS ≤ 129|PS > 100) =

P(PS ≤ 129 y PS > 100)

P(PS > 100)

=

=

P(PS ≤ 129) − P(PS ≤ 100)

1 − P(PS ≤ 100)

=

P(Z ≤ −0,78) − P(Z ≤ −2,19)

1 − P(PC ≤ −2,19)

=

0,22 − 0,01

1 − 0,01 = 0,21

Tomando en cuenta lo anterior, la probabilidad que una o dos o las tres farmacéuticas logren

producir la vacuna antes que el laboratorio de la Universidad de Oxford dado que han ya han

transcurrido 100 días es:

P(Producción de Farmacéutica Previo a la Universidad de Oxford | 100 días) =

= P(PP100 ≤ 29) ∙ P(PC100 > 29) ∙ P(PS100 > 29) + P(PP100 > 29) ∙ P(PC100 ≤ 29)

∙ P(PS100 > 29) + P(PP100 > 29) ∙ P(PC100 > 29) ∙ P(PS100 ≤ 29)

+ P(PP100 ≤ 29) ∙ P(PC100 ≤ 29) ∙ P(PS100 > 29) + P(PP100 ≤ 29)

∙ P(PC100 > 29) ∙ P(PS100 ≤ 29) + P(PP100 > 29) ∙ P(PC100 ≤ 29)

∙ P(PS100 ≤ 29) + P(PP100 ≤ 29) ∙ P(PC100 ≤ 29) ∙ P(PS100 ≤ 29)

= (0,32) ∙ (1 − 0,29) ∙ (1 − 0,21) + (1 − 0,32) ∙ (0,29) ∙ (1 − 0,21) + (1 − 0,32)

∙ (1 − 0,29) ∙ (0,21) + (0,32) ∙ (0,29) ∙ (1 − 0,21) + (0,32) ∙ (1 − 0,29)

∙ (0,21) + (1 − 0,32) ∙ (0,29) ∙ (0,21) + (0,32) ∙ (0,29) ∙ (0,21) = 0,66

Finalmente, la probabilidad que una o dos o las tres farmacéuticas logren producir la vacuna antes

que el laboratorio de la Universidad de Oxford, dado que han transcurrido 100 días es 0,66.

NOTA: en este “Caso” puede considerarse correcta la restricción de menor o igual 129, o bien,

menor o igual a 130. La diferencia radica en el instante en que se consideró el inicio, en el “primer

segundo” del día “cero” o en el “último segundo” del día “cero”. Dado que no se encontraba

especificado en el planteamiento del problema, ambas respuestas se considerarán correctas.

Preservando la Vida Silvestre

Con el fin de asegurar el futuro de los ostiones en las costas del Pacífico Sur, el Servicio de Pesca y

Vida Silvestre de Chile (UPVS) exige que, en cualquier barco comercial de pesca, el peso promedio

de carne por ostión de una captura completa debe ser al menos 0,5 onzas. Habitualmente,

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