Todo Sobre La Circunferencia

Cuando se estudia la circunferencia generalmente se enfatiza en la obtención del

número π, que está relacionado con su perímetro y el área del círculo. Pero no se

Capítulo 5

Circunferencia

Módulo 18

Generalidades de la circunferencia

Módulo 19

Arcos y ángulos

Autoevaluación

Capítulo 5, módulos 18 y 19

trata en este capítulo de plantear cómo obtener a π ,

sino de presentar algunas

generalidades sobre la circunferencia y el círculo, tales como los elementos y las posiciones relativas entre recta y circunferencia y entre dos circunferencias. Ade- más, se analizan propiedades de rectas tangentes y de cuerdas y arcos y se finaliza presentando los diferentes ángulos relacionados con la circunferencia y la forma de hallar su medida.

18

Generalidades de la circunferencia

Contenidos del módulo

18.1 Arcos de circunferencia

18.2 Posiciones relativas

18.3 Rectas tangentes

Objetivos del módulo

Menelao de Alejandría

Matemático y astrónomo nacido en Alejandría (ciudad fundada en 332 a C. por Alejandro Magno, rey de Macedonia).

1. Definir la medida de un arco y del ángulo central.

2. Establecer el álgebra de arcos y su congruencia.

3. Mostrar las posiciones relativas (en el plano) de una circunferencia y una recta.

4. Mostrar las posiciones relativas (en el plano) de dos circunferencias.

5. Demostrar las propiedades de las rectas tangentes.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es un arco?

2. ¿Qué es la medida de un arco?

3. ¿Cuándo dos arcos son congruentes?

4. ¿Cómo se suman o se restan arcos?

5. En el plano, ¿cuál es la posición relativa de un punto respecto a una circunferen- cia?

6. En el plano, ¿cuál es la posición relativa de una recta y una circunferencia?

7. En el plano, ¿cuáles son las posiciones relativas entre dos circunferencias?

8. ¿Qué relación hay entre el segmento radial y una tangente?

9. ¿Cómo son los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto exterior?

10. ¿Qué propiedades tiene la recta que pasa por el centro de la circunferencia y el punto de intersección de las tangentes?

Introducción

En este módulo se retoman los elementos en la circunferencia y el círculo y se analiza qué propiedades tiene la medida de arcos, la congruencia de arcos, la adición y la sustracción de arcos. Se muestran luego las posiciones relativas (en el plano) con respecto a una circunferencia de un punto, una recta y otra circunferencia. Finalmente, se analizan las propiedades que tiene la recta tangente a una circunfe- rencia.

Vea el módulo 18 del programa de televisión Geometría Euclidiana

18.1 Arcos de circunferencia

Vimos en el capítulo 2 algunos elementos básicos relacionados con la circunferen- cia y el círculo, tales como arco, ángulo central, cuerda, etc. Estudiaremos en este capítulo las propiedades de algunos de ellos y las relaciones que pueden existir entre los mismos.

En la figura 18.1 se tiene el arco de circunferencia AB y el ángulo central AOB. Decimos que el ángulo central interseca al arco AB y que el arco AB subtiende el ángulo central AOB.

Figura 18.1

Decimos que un ángulo interseca un arco si cumple que:

a. Los puntos extremos del arco están sobre los lados del ángulo. b. El interior del arco está contenido en el interior del ángulo.

Vimos en el capítulo 2 que el grado es una unidad de medida de ángulo. La unidad para medir arcos es el arco intersecado por un ángulo central de un grado. En forma análoga, esta unidad se llama grado (figura 18.2). Así:

Figura 18.2

m ( AOˆ B) = m ( Aˆ B) = 1º

La suma de la medida de los ángulos adyacentes consecutivos alrededor de un punto es 360º y el número de grados de la circunferencia es 360º, cada uno en el sistema sexagesimal. Por tanto, aunque el grado de ángulo no es el mismo que el grado de arco, el valor numérico de la medida de los ángulos está relacionado con el valor numérico de la medida de los arcos, como se expresa en la siguiente defini- ción.

Definición 18.1.1

a. Si AB es un arco menor, entonces su medida es igual a la medida, en grados, del ángulo central correspondiente.

b. Si el arco AB es una semicircunferencia, entonces su medida es 180º.

c. Si el arco ABC es un arco mayor (figura 18.1) y AB es el arco menor, entonces

m ( qACB) = 360º − m ( pAB) .

Tenemos por tanto así que si en la figura 18.2 m ( AOˆB) = 1º , entonces m ( pAB) = 1º ,

y en general

m ( AOˆB) = α º . En consecuencia

m ( pAB) = α º

y desde luego

m ( qACB) = 360º −α º .

Establecimos la medida en grados de un arco de circunferencia, lo cual no se puede confundir con la longitud del arco. El grado de arco no es unidad de longitud.

Definición 18.1.2

Dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes son con- gruentes si y sólo si tienen igual medida (figura 18.3).

Figura 18.3

Es decir:

a. pAB ≅ CpD ⇔ m ( pAB) = m (CpD)

b. pAB ≅ PpN ⇔ m ( pAB) = m (PpN )

Observamos también en la figura 18.3 que m (PpN ) = m (EpF ) = m (POˆ N ) = α º , por

ser arcos intersecados por el ángulo central PON; pero la longitud de los arcos PN

y EF son diferentes así tengan la misma medida en grados.

Postulado 18.1.1 (De la adición de arcos)

Si A, B y C son puntos sobre una circunferencia y en ese orden, entonces

m ( qABC) = m ( pAB) + m (BpC).

Menelao de Alejandría

Este matemático cultivó la astronomía y la geometría en Alejandría y en Roma. Entre sus obras más importantes están Cuerdas en un círculo y Elementos de geometría, pero la única que ha sobrevivido, y sólo en su versión árabe, es su Esférica , un sistemático estudio de las propiedades de los triángulos esféricos, es decir, un triángulo cortado por una recta o un gran círculo ( teoremas de Menelao), que constituyen las bases de la trigonometría esférica.

Corolario 18.1.1 (De la sustracción de arcos)

Si A, B y C son puntos de una circunferencia y en ese orden, entonces

m ( pAB) = m ( qABC) − m (BpC). Esta relación es llamada sustracción de arcos.

Los dos teoremas siguientes son una consecuencia inmediata de la definición dada

sobre la medida de un arco de circunferencia. Su demostración se deja como ejerci- cio.

Teorema 18.1.1

En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, ángulos centrales congruentes subtienden arcos congruentes.

Teorema 18.1.2

En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, los arcos congruen- tes son subtendidos por ángulos centrales congruentes.

18.2 Posiciones relativas

En un mismo plano las posiciones relativas de un punto y de una recta respecto a una circunferencia están determinadas por sus respectivas distancias al centro de la circunferencia.

Sea d la distancia de un punto P al centro de una circunferencia de centro O y de radio r en un mismo plano (figura 18.4).

Si d > r , P es exterior a la circunferencia. Si d = r , P está en la circunferencia.

Si d < r , P es interior a la circunferencia.

Figura 18.4

Si una recta A y una circunferencia (O, r ) son coplanares y además d es la distan- cia de la recta al centro O, entonces, de la figura 18.5, obtenemos:

a. Si d > r, la recta A es exterior a la circunferencia.

b. Si d = r, la recta A es tangente a la circunferencia.

c. Si

d < r, la recta A es secante a la circunferencia.

Figura 18.5

Si dos circunferencias C1 (O1 , r1 ) y C2 (O2 , r2 ) están en el mismo plano, las posicio- nes relativas entre ellas pueden relacionarse con la distancia d entre sus centros de

la siguiente manera:

a. Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios (figura 18.6).

C1 y C2 son exteriores

d = d (O1 , O2 )

d > r1 + r2

...